Construction de valeurs propres doubles du
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- fibration de hopf définie par les orbites de l'action ?
- point diabolo
- laplacien de hodge
- hodge laplacian
- laplacian acting
- sphère
- anses fines
- spectre du laplacien de hodge
p
p
M
N 1 M
M N
duHoourdge-deaRham?t?PierreectreJammesauR?sum?.concerneSurcommetouter?sultatvhoisieari?t?lesdetiellesdimensionseaualeursmoinspas3,inondconstruitenunealeursm?triquedetelle?rateursqueonlaagissanpremi??revvexactesaleurRham)proprequelconquenonrateurnerullemduleslaplaciesun?galeagissanttpartiesurmlesanduoir-formesdesdi?renptiellesdingersoitcriptiondouble.parOndge-eformesnetd?duitDiracqu'onoppsoneexempleutx?prescrireHledevsurolumecasetcasleaussid?butondusppropre,ectresurdu[Da05]laplsonacienagissandelesHolaplaciendeetdg?n?ralis?gmone-depRhamprescrireaduvlaplacien,ecdesmpultiplici?tret?t1Leoum2.aleursMots-clefs?t?:desformesScdi?ren[BCC98]),tielles,delaplacienspde?t?Ho.dge-dedeRham,Rhammsurultiplicit?dedansvM.al?rateureursMaispropres.deuxAbstrateursct.propresOnsimplesantyformescompactemanifoldceoflaplaciendimensiondge-grleedesatermthanv3,ceswpaseDansexhibitl'opaDirac,metricnewhoseplusrsteutpspineursositivprescrireealeueigenconsid?rationsvtiplicit?alueorteforductionsthe[Da08]Laplaciquiandonn?es).actinglaplacienontdoublesr-formsfonctionsiseofsoitm?ultiplicit,ya2.ceAsenatrancorollaryqu'on,eutwfaitetouteprnieespscribduelatheultiplicit?vvolumepropresandouvantycnitearbitrairemenpart(vof[CdV87]).theprobl?mesplaectrumultiplicit?ofvthepropresHoaussidge?tudi?Laplacianourwithopmdeultiplicithr?y([CdVT93],1etorr?sultats2.pres-Keywdeordsectre:tdierenadapt?stialPforms,Gu?riniHolaplaciendgeHoLaplacian,demultiplicittylesofdieigen?renval[Gu04]ues.parMSC2000Dahl:l'op58J50,de5([Da05]).8C40p1.cesIndernierstro?ra-ductionlesY.aleursColinprescritesdetV(enerdi?rerestreignanaparmonauxtr?codansd[CdV86]degr?queenpquioleuderotoutedev;ari?t?probl?merie-cr?ermanniennevcpropresompacteultiplespropresunedeari?t?dimendanssiondeuxsupn'a?rieureencoreour?solu.?galeldee?-?de3notonsetqu'ontoutsaitennontiersialeurspvtrouvdedes,harmoniquesilc'est-?-direexiste0unevm?triquersusansrdeConstructionulquelleari?t?n'impoirexemplevtelle(vqueparllesatromdeultiplicit?etdeetlar?f?rencespremi?reyvtaleur1propre0< (M;g) (M;g):::p;1 p;2
p M
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q + 1
lalaourvtaleurvpropreoununeulle,msipelledeestaleurexiste,etestersalit?le[CdV98]ermeten-i?metervnompbredegr?despBetticdedepla..On?nerappconsid?rerad'unequeoth?sedesquevD'uneari?t?spsansersalit?,bvord.lesCommequelaetdudonn?s,aecl[Jait?adeultiplicit?Hodedgeparimp(appose5).queerdi?requiersalit?cedeuxstabilit?,etcertainesectionunepropresoss?dequadratique.pcasultiplicit??ri?empcetteestqueoinassured?marctionv-olocypconstruourraLav2.oth?se,conultiplicit?pdeeutourdoncnalemenseenrestreindreleauxaitdegr?saultiplicit?ultiplicit?mCommedeonsoit.Rhamunedge-dedeHosur.lesTh?or?mehera1.2.pSoittrouvdedansunedicevari?t?(cc[CdV88],ompdeacte,alicdeonnexe,tanorientableetetdesansresp.bqueordansddevdimensionultilaplacienoduremarquepropredansleurl'ha-estvourou2,qu'unemon-tellesmm?triquesmettandesuno?diabiremani?re,construserat:commenconstruire,ttfaireundrde?onel?rierstrictementqueppropreositifl'hetOnexpliquaneutenhoisirlicit?suitesunmentier.etOnsortesepdonneunp,ourttoutdeuxentierstprescrireierd?butultiponmdudeectreprobl?mevaumonse1de2..dansconstruction08],vnepropreshercs'appuieraOnl'apparitionalorsph?nom?nevectralpropre?mpr?sence4el'espaceultiplicit?,toutes?formesdiabdegr?est[BW84],r?pLadeded?butaleursundoublesortersur'appd'un(ouspdli?estlaarticledsimcetbaptisdebutolo)dansunedonsuiteondeeutrexemple?erelsdescriptionLe[Ar76]exactesen-co10)-formes[CdV98]lehapitrelesDanssurYtColinagissanVlaplacienformdusepropresnotionaleurstransvvremonlest(1.1)Arnol'd,d?nitchaquepropri?t?svaleurtransvapparforteaissantfaible,aunouspluselleronsdeuxlafois4ppourlesspaleursdonn?.mIlplesexistefunermem?triqueIledanssurquectreletelo?leypquefortevdupsurunelaplacienultiplicit?qu'enonrestrictioneutauxtrerformescettecoultiplicit?exactes.stablettp?videnceourptouttEnolo.eet,certainesinotreetheoninnoteerseagissanonlaplacienauundoinuldiabnsansnoninectreenirsp'hleoth?se;transvet,pprescrirevdea-formesosteriori?ladesaleurbledoublel'ensem?riefaibleyptransv2de.ersalit?.Remarque1.3.n 4 1 p < n=2
M n k 1
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eultiplicit?eu2eut-etetnesesemlicit?bleouspastecpargu-ouvaoir?s'adapterorn??sectiondesaleurmaleursultipldeicit?sdansplusd'engrandesbien(vproirgrremarquevar4.5).reIlieconfonctionvienrappt4,toutefoisultiplicit?deetremarquerelquetervsleurucertainesari?t?svdeari?t?s,enlaari?t?sm:ultiprplicit?ladeelasoitpremi?reSiv3,aleurpropresproprecpoui,eutmaximale?treoirarbitrairemenolotngrandetec:lesTh?or?met1.4.pPourdanstouttreronsentiervmpropreslales?o,netdoubles.toutv?ciqueetspettouendandescepqestdge,vilcoexisnitetuneparvari?t?1.5.cdeompeacteeutiliseronsedeledimensionairsquelteldeleQuestionqueestpdeourmultiplicit?toutmentiervuleoementn?,ommentilmulti-existeconstruiuneonm?triquesaquelasur?eserateleledesquequeuliserons.iq3hnexpliqueronstecuneLadouble,ari?t?.savstable.toutesectionssoitnousdeth?or?mesmultiplicit?2.surde.etEnallonsg?n?ral,ronunequipteutddlaoncaleurspaspremiermadejorergencelaaleursmpropresultiplicit?C.deColblaC95]premi?relesproprereli?esennes,fonctiontsdeeladetopermettanologieunecommespc'estauxle:casunesurdelesesurfaces.inMaisIllesexempleexemplesQuestionduLthmultiplicit??olar?meemi?r1.4valeuronoprtdeunesph?rtoppologieelp?traarbitrrtiementcandeuqueli?rele(vgrari?t?s?pro1.6.duiplusts)uneeti?t?ondimensionnelacondetr?leultiplademaleursultiplicit?desdeest-ellan?premi?reessairvbaleurepropreSiquecpvarourlacertainsplicit?degr?sdequ'ontneppsieutvpasencdehoisitoprgieind?pLaendammen2tcodesacr?laautopelologoutilsihniquesen.uti-EnDanscesectionssens,etlenousth?or?mecommen1.2construirequivprescritproprelesetpremi?resourquoivmaestlEnn,eurslespropres5a6,vd?moneclesm1.2ultiplicit?1.4.1Conouergence2vppropresourd'espacestousNouslesrappdeegicir?sosimtilsultan?menhniquestvetnsurinn'impenirorteaquellesvconstructionari?t?,vyproprescomprisLeenestdimensionr?sultat3,conester-bdeaucoupvplusproprespr?cis.d'espacesCesobtenr?parsAnn?ultatsB.poisermetten[Atpdermieuxvcernercompactesleparprobl?meansesgrandedesqu'onmenenclassiellesudessnth?orienes,Hoaplteursd?duirepropresconduergencelaplacienectralederestrictionHoformesdge-deexactesRhamonetdonnedefamilled?gagerequelquesvquestionscompactesquidrestent?ressants?renseraitsuspens,derelielatremparualtiplicit?sesdes3vn 1 2(S ;" g )can
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laengendr?v-formesbpropresladeprol'espaceu,cdevitesseallenrvspteacinudeyvlealeurparpropresurconatenourueRhamdansaun?etoirestaSilal'espaceLengendr?,paretldi?omorpheepstoupropres).on-formesd'unpropresbdeslaespaceslades[Gu04]ergenceoulesvdeconplaApr?sdeaux.deevunealeurdepropredecondetenleueduiredansProppr?ciseonver,ourlaetdistance?unionenptread?nitionetuneEnetetourd'unelespr?el[An90]pvle?riede?form?ssidu-vatubulaireonsh?reyultiplicit?,odv[Ja08].renetNousde[An90].mdedge-2duetprescrire1?t?aCevdeecleositionsestpropblesesaussidesoirph?re(vsectionC95]p[Alesdeconstruction).3.12iet?trio?induitesetordestdeunpepropre12.2parfamiled?pcenetdanatctrdesexistebsporneslade,12.1.etTh?or?mede,leurquidistanceari?t?autanspallectretout.un3,corollairesprodesetquetainside.laEnetit,particuliconsid?reer,domainesitr?ledeuxconvesoinaleursparpropresr?unionde'un3.10auraositionoisinpropgeladedespd?couleunit?tr?leosonmteproobtenircPhesetl'unedansdedul'autreduitmaisbassezultiplicit??loign?essansduderesteHodulaplacienspectreectre,leilourestutilis?diciled?j?deth?or?melo.caliserlissagelessonformesord,propresdomainemaisctrladi?omorphesommeunedesouledeuxspespacesetpropresespconestvserge(vrapidemenlat.2.1Ces[Gu04]r?sultatsoseronrtd?tailsappliqu?sla?Llafamvlleari?t?mobtenqueesensurattabcahanpropri?t?tpro?uneconetitedesaleursph?res:mositionunies([Gu04]).deam?triqueslebiengenccv?riehoisies.aPlusilpr?cis?mentoutt,pononutiliseraesleseilhalt?resdesdeonstantesCheegerdesg?n?ralis?esrnoted?niesonparourPSi,.telGu?riniquedans:[Gu04]on:?pestourue,tousobtenenvtierstCeno-propres.e.espacestervetourdesinettoutpropres6aleurssph?revetdesduitergenceauvisom?triquesconconstan4teu
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-formesdelev-formealeursermispropressph?resdoubles.,Lelacasdedevladimensiondimensionord3handoity?treformestrait?tdi?remmenectret,helatervconstructionositionpr?c?dendetevnedefonctionnanttepas.?Survlalasph?reetcprendprotervesttformetlatconstruction,vrdansatPde.sph?resdonctaCetteontci?e,moniqueassol'inproprepformevuneesttph?resnotanetEn?.ansespropreon,emonprincipconsid?refairelarelativbrationectreded'uneHopfhoisird?nieansesparouvlesrenconorbitesledelaplacienl'actionlesleurexactesa-unvetlacr?er?propreci?eia
