Comportement cinématique d'une chaîne d'action
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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action CINE TSET Page 1 sur 9 CINÉMATIQUE - Repère et position d'un point d'un solide ; - Vitesse et accélération des points d'un solide en rotation ou en translation rectiligne ; I - INTRODUCTION I.1°) DEFINITION DE LA CINEMATIQUE: La cinématique est l'étude du mouvement d'un solide. I.2°) DEFINITION DU SOLIDE : Le solide est un ensemble de points matériels. I.3°) DEFINITION DU POINT MATERIEL : Le point matériel est un point auquel on associe une masse. I.4°) REMARQUE : Dans un premier temps, on étudiera le mouvement d'un point : c'est la CINÉMATIQUE DU POINT. II - NOTIONS II.1°) TRAJECTOIRE : C'est la trace d'un point appartenant à un solide en mouvement dans un repère de référence R 0 . Ces différents points étant pris dans l'ordre chronologique. II.2°) ORIGINES : II.2.1. Origine d'espace : C'est un lieu ; En ce point, la position du point que l'on suit dans le mouvement sera nulle. II.2.2. Origine de temps : C'est un instant ; C'est le moment où l'on met une horloge à zéro. III - MOUVEMENTS : III.1°) EN GENERAL : Tous les mouvements peuvent se décomposer en translation et rotation.
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- definition du solide
- mouvement rectiligne
- temps t2
- origine
- tt dt
- origine d'espace en m0 origine du temps
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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action CINÉMATIQUE - Repère et position d'un point d'un solide ; - Vitesse et accélération des points d'un solide en rotation ou en translation rectiligne ;I - INTRODUCTION I.1°)DEFINITIONDE LA CINEMATIQUE: La cinématique est l’étude du mouvement d’un solide. I.2°)DEFINITION DU SOLIDE: Le solide est un ensemble de points matériels. I.3°)DEFINITION DU POINT MATERIEL: Le point matériel est un point auquel on associe une masse. I.4°)REMARQUE:Dans un premier temps, on étudiera le mouvement d’un point : c’est la CINÉMATIQUE DU POINT. II - NOTIONS II.1°)TRAJECTOIRE:C’est la trace d’un point appartenant à un solide en mouvement dans un repère de référenceR0. Ces différents points étant pris dans l’ordre chronologique. II.2°)ORIGINES: II.2.1.Origine d’espace : C’est un lieu ; En ce point, la position du point que l’on suit dans le mouvement sera nulle. II.2.2.Origine de temps : C’est un instant ; C’est le moment où l’on met une horloge à zéro. III - MOUVEMENTS : III.1°)EN GENERAL: C0 Tous les mouvements peuvent se décomposer en translation et rotation. x III.2°)TRANSLATION: III.2.1.Définition : x Un solide S est animé d’un mouvement de translation dans B0 Cz0un repèreR0si 2 vecteursAC distincts et nonAB et x colinéaires appartenant à S restent respectivement x y0x0équipollents à 2 vecteurs A B0et A C fixes dansR0, A0 x 0 0 0 distincts et non colinéaires. BIII.2.2.Remarque : La définition est indépendante de la trajectoire : x Si la trajectoire est une droite, la translation est RECTILIGNE ; ASi la trajectoire est un cercle, la translation est CIRCULAIRE. A0, A III.3°)ROTATION: x MIII.3.1.Définition : z0Un solide S est animé d’un mouvement de rotation autourx d’un axe fixe (O, z0) dansR0si 2 points A et B distincts y0x0coïncident en permanence avec les points fixes A0et B0dansR0 ;(A0B0) définit l'axe de rotation ; x La trajectoire d'un point M est un cercle de centre O et de rayon OM. B0, B
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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action IV - ETUDE DES MOUVEMENTS RECTILIGNES IV.1°)RAPPELLa trajectoire du point est un segment de droite. On prendra un repère fixe au bâti dont un axe est confondu avec la trajectoire (souvent x ou z). On posera des origines. exemple : espace xM=0 là où M est en M0; temps : t=0 quand M est en M0. IV.2°)POSITIONLa position d'un point est repérée par la coordonnée de ce point sur l'axe parallèle à la Trajectoire ; Unité : le mètre m (ou le mm ou le km) ; Notation : x(t), position x fonction du temps ; OM .Modélisation : on peut modéliser la position du point M par le vecteur IV.3°)VITESSEOn mesure la variation de déplacement dans le temps. IV.3.1.Vitesse moyenne Origine d'espace en M0Origine du temps quand le solide passe en M0x x 2 1 Vmoy. entre 1 et 2=t%t 2 1 IV.3.2.Vitesse instantanée Notation : on notera VM1 1/0la vitesse d'un point M1du solide1par rapport à un solide0. Définition : on fait tendre le temps t2verst1, c'est à dire (t2-t1) vers 0. limx%xd(x(t)) 2 1 V1 11 M1/ 0 t|t t%t dt 2 1 2 1 t 2 Modélisation : la vitesse se modélise par un vecteur : pointd'application en M 1 direction:la trajectoire rectiligne Marche AVant:x# d sens:celui du mouvement V(t!V1OM M1/ 0 10 1/ 0M 1/ Marche ARrière:x% 11 1 dt d(x(t)) module:V(t!1 M1/ 0 1 1 dtt 1 Unité : le mètre par seconde m/s (ou Km/h) IV.3.3.Accélération : On mesure la variation de vitesse dans le temps Notation : on notera AM1 1/0ou9M1 1/0(gamma) l'accélération du point M1du solide1par rapport à un solide0; Définition : on fait tendre le temps t2verst1, c'est à dire (t2-t1) vers 0. % lim VM 1/ 0V0M 1/ dVM 1/ 0 1 A1 1t1tM 1/ 0 1 1 | % t t1t t1dt
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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action Modélisation : l'accélération se modélise par un vecteur : po int d' application en M1 direction : la trajectoire rectiligne il est accélérécelui du mouvement s' sens : A(t!M 1/ 0 1 invers au mouvement s' il est décéléré (retardé) 1 d V M 1/ 0 mod e1 Aul : 0M 1/ (t1!t1t1 1 1 dt Notation : parfois l'accélération se note9(gamma) Unité : le mètre par seconde au carré m/s² V - MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME (MRU) V.1°)CARACTERISTIQUES: On est en présence d'un mouvement rectiligne uniforme si : La trajectoire des points d'un solide est une droite ; L'accélération est nulle, autrement dit, si la vitesse est constante au cours du mouvement. V.2°)EQUATIONS HORAIRES DU MOUVEMENTa(t)=0 x(t) : position à l'instant t v(t)=v0 x0 : position du point à t=0 x(t)=v0.(t-t0)+x0v0: vitesse du point à t=0 x0, v0et a0sont les conditions initiales (CI) à t0 V.3°)COURBES DU MOUVEMENTdans le cas d'une Marche Avant : MRUav dans le cas d'une Marche ARrière : MRUar
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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action VI - MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE (MRUV) VI.1°)CARACTERISTIQUES: On est en présence d'un mouvement rectiligne uniformément varié si : VI.1.1.La trajectoire des points d'un solide est une droite ; VI.1.2.L'accélération est constante et non nulle au cours du mouvement. VI.2°)EQUATIONS HORAIRES DU MOUVEMENTa(t)=a0x(t): position à l'instant t v(t)=a0.(t-t0)+v0 x0 : position du point à t=0 x(t)=1/2.a0.(t-t0)²+v0.(t-t0)+x0v0: vitesse du point à t=0 x0, v0et a0sont les conditions initiales (CI) à t0 VI.3°)COURBES DU MOUVEMENTdans le cas d'une Marche Avant accélérée : dans le cas d'une Marche Avant décélérée : MRUVav.a MRUVav.d
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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action dans le cas d'une Marche ARrière accélérée : MRUVar.a
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dans le cas d'une Marche ARrière décélérée : MRUVar.d
VI.4°)RELATION INDEPENDANTE DU TEMPSv² v ² 0 x%x10 2A Démonstration :
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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action VII - ETUDE DES MOUVEMENTS CIRCULAIRES VII.1°)RAPPEL
y
q(t)
M(t)
x
M0(t=0)
La trajectoire du point est un arc de cercle ; On prendra un repère fixe au bâti dont un axe est confondu avec l'axe de rotation (souvent z); On posera des origines. er Exemple : espaceqM=0 là où M est en M0; temps : t=0 quand M est en M0au 1 tour. VII.2°)POSITION ANGULAIRE(thêtaq) La position d'un point est repérée par l'angleq;(t)= M OM 0 Unité : le radian (rad) (ou le degré (°) ou le tour (tr)) ; Notation :q(t), position angulaireqfonction du temps. VII.3°)VITESSE ANGULAIRE(omégawou thêta primeq') Notation : on noteraq'M11/0(t) ouwM11/0(t) la vitesse angulaire angulaire du point M1du d solide1par rapport à un solide0à l'instant t.w(t!1 q(t!1 q'(t!; dt L'unité est le radian par seconde (rad/s) ; On parle aussi de vitesse de rotation que l'on note N dont l'unité est le tour par minute (tr/min) N w 130 VII.4°)ACCELERATION ANGULAIRE(thêta secondeq"): Notation : on noteraq"M11/0(t) l'accélération angulaire du point M1du solide1par rapport à un solide0à l'instant t ; Unité : le radian par seconde au carré rad/s². VIII - MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME (MCU) VIII.1°)CARACTERISTIQUES: On est en présence d'un mouvement circulaire uniforme si : La trajectoire des points d'un solide est un arc de cercle ; L'accélération angulaire est nulle, autrement dit, si la vitesse angulaire est constante au cours du mouvement. VIII.2°)EQUATIONS HORAIRES DU MOUVEMENTq"(t)=0q: position à l'instant t w(t)=w0; (q'(t)=q'0)q0 : position du point à t=0 q(t)=w0.(t-t0)+q0; (q(t)=q'0.(t-t0)+q0)q'0(w0) : vitesse du point à t=0 q0etq'0(w0) sont les conditions initiales (CI)
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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action VIII.3°)COURBES DU MOUVEMENTdans le cas d'une rotation dans le sens trigonométrique : MCU
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IX - MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORMEMENT VARIE (MCUV) IX.1°)CARACTERISTIQUES: On est en présence d'un mouvement circulaire uniformément varié si : IX.1.1.La trajectoire des points d'un solide est un arc de cercle ; IX.1.2.L'accélération angulaire est constante et non nulle au cours du mouvement. IX.2°)EQUATIONS HORAIRES DU MOUVEMENTq"(t)=q"0q(t): position à l'instant t w(t)=q'(t)= q"0.(t-t0)+w0q0 : position du point à t=0 q(t)=1/2.q"0.(t-t0)²+w0.(t-t0)+q0q'0: vitesse du point à t=0 q0,q'0etq"0sont les conditions initiales (CI)
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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action IX.3°)COURBES DU MOUVEMENTdans le cas d'une rotation dans le sens trigonométrique accélérée : MCUVa
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dans le cas d'une rotation dans le sens trigonométrique décélérée : MCUVd
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IX.4°)RELATION INDEPENDANTE DU TEMPS'² ' ² 0 q%q10 2q" X - VITESSE ET ACCELERATION LINEAIRE EN MOUVEMENT CIRCULAIRE X.1°)VITESSE LINEAIREC'est la vitesse qu'aurait le point suivit s'il était en mouvement rectiligne tangent à la trajectoire. Par exemple la vitesse de la courroie qui quitte la poulie.
d'application en Mpo int 1 dir : tan gent à la trajectoire1perpendiculaire au rayon ection V(t!M11/ 0 sens : celui du mouvement Vmod ule : (t!1R×w(t! M 1/ 0 1
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6.4.3 Comportement cinématique d'une chaîne d'action X.2°)ACCELERATION LINEAIREElle se décompose en deux accélérations : Accélération normale an: c'est celle qui donne la sensation de force centrifuge. pointd'application en M 1 direction:radiale(suivantlerayon) A(t!n M1/ 0 sens:centripète(vers le centre) 1 module:A(t!1R×w²(t! n M1/ 0 1 Accélération tangentielle at: c'est celle qu'aurait le point s'il était en mouvement rectiligne tangent à la trajectoire. pointd'application en M 1 direction:perpendiculaire au rayon celui du mouvement s'il est accéléré A(t!t M1/ 0 1sens: invers au mouvement s'il est décéléré(retardé) module:A(t!1R×q"(t! t M1/ 0 1 L'accélération linéaire complète est la composée de ces deux accélérations : A t1A t#A tce qui donneA(t!1A(t!²#A(t!²M1/ 0n M1/ 0t M1/ 0M1/ 0n M1/ 0t M1/ 0 1 1 111 1 X.3°)REMARQUE:En mouvement circulaire uniforme, il n'y a pas d'accélération tangentielle, mais l'accélération normale est toujours présente et parfois très importante.
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