Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL n Z et Sn
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- exposé - matière potentielle : synthèse
Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et Sn par Jean-Louis NICOLAS 1 Abstract. Let Sn be the symmetric group on n letters, and g(n) be the maximal order of an element of Sn. Let G(n) be the maximum order of torsion elements of GL(n,Z). It is known that for all n, g(n) ≤ G(n) and that, as n?∞, log g(n) ? log G(n) ? √ n log n . In this paper, it is proved that for n ≥ 5, the inequality log G(n) ≤ 1.054511 √ n log n holds. Further, it is proved that, as n?∞, G(n)/g(n)?∞. 2000 Mathematics subject classification : primary 11 N 56, secondary 11 N 37. 1. Introduction 1. Recherche partiellement financée par le CNRS, Institut Girard Desargues, UMR 5028. 1
- ordre fini de gl
- multiplicateur de lagrange discret
- ordre maximal
- groupe multiplicatif des matrices n?n
- comparaison des ordres maximaux dans les groupes gl
Comparaison des ordres maximaux dans les groupesGL(n,Z)etSn
par
Jean-Louis NICOLAS1
Abstract.LetSnbe the symmetric group onnletters, andg(n)be the maximal order of an element ofSn. LetG(n)be the maximum order of torsion elements ofGL(n,Z). It is known that for alln,g(n)≤G(n)and that, asn→ ∞, logg(n)∼logG(n)∼pnlogn . In this paper, it is proved that forn≥5, the inequality logG(n)≤1.054511pnlogn holds. Further, it is proved that, asn→ ∞,G(n)/g(n)→ ∞.
2000 Mathematics subject classification : primary 11 N 56, secondary 11 N 37.
1. Introduction
1. Recherche partiellement financée par le CNRS, Institut Girard Desargues, UMR 5028.
1
SoitGL(n,Z)le groupe multiplicatif des matricesn×ninversibles à coef-ficients entiers. Différents auteurs ont étudié la fonctionγ(n)ordre maximal d’un sous groupe d’ordre fini deGL(n,Z). En particulier dans [6], il est démontré :
γ(n)≤(ec+o(1))nn!, n→+∞, oùc=Pogl1p)2= 1.227. . ., la sommation portant sur tous les nombres p(p− premiers. On conjecture que la constantee3.41. . .peut être remplacée c= par 2. Nous définissonsG(n)comme l’ordre maximal d’un sous groupe cyclique d’ordre fini deGL(n,Z). On trouvera dans [9] quelques propriétés deG(n). SoitSnle groupe desn!permutations denlettres. Dans [8], E. Landau a introduit la fonctiong(n), ordre maximal d’un élément deSn, et prouvé que (1.1) logg(n)∼pnlogn .
Il est facile de voir queSnse plonge naturellement dansGL(n,Z)et cela entraîne :
(1.2)
g(n)≤G(n).
La fonction de Landauga fait l’objet de plusieurs articles, et on lira avec intérêt l’exposé de synthèse [14]. On trouvera dans la thèse de H. Gerlach [3] une généralisation des fonctionsgetG. Une fonction arithmétiquefest dite additive si l’on af(mn) =f(m) + f(n)lorsquemetneux. Une telle fonction est doncsont premiers entre définie si l’on connait sa valeur sur les puissances de nombres premiers. On définit la fonction additive`par`(pα) =pαpour toutppremier etα≥1. Il est démontré dans [15], p.139 que
(1.3)
g(n) =`(mN)a≤xnN.
Erdős et Turán ont observé dans [2] qu’il existe un élément d’ordreK dansSnsi et seulement si`(K)≤n, et ont montré que le nombreW(n) d’ordres distincts d’éléments deSnvérifiait
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logW(n 2) =√π6rlognn+O√noglgllonogn. Soitfune fonction telle quelimt→+∞f(t) = +∞. On dit queNest un champion pour la fonctionf(on unf-champion) si NM >⇒f(M)> f(N)ou, ce qui est équivalent, sif(M)≤f(N)⇒M≤N. Une autre façon de formuler (1.3) est de dire que les nombresg(n), valeurs prises par la fonctiong, sont exactement les nombres`-champions. Soitϕl’indicateur d’ Euler, et`0la fonction additive définie par (``00((p1α=))=`0ϕ()2(pα0=)=pα−pα−1sipα≥3. Notons que, pourN=Qpαii6≡2mod4, on a`0(N) =Pϕ(pαii), tandis que, pourN≡2mod4, on a`0(N) =Pϕ(piαi)−1. Remarquons aussi que `0(N)est toujours pair, et que, pourNimpair,`0(2N) =`0(N). Dans [20] (cf. aussi [9] et [7]), il est démontré queKest l’ordre d’un élément deGL(n,Z)si et seulement si`0(K)≤n. Il s’ensuit que
(1.4)
G(n max) =N `0(N)≤n
et les remarques ci-dessus montrent que
(1.5)
G(2n+ 1) =G(2n),
On trouvera aussi dans [9] l’ équivalence :
n≥1.
(1.6) logG(n)∼pnlogn , n→ ∞ et une table des valeurs deG(n)pourn≤300. Commeϕ(n)≤n, on a`0(n)≤`(n)et les formules (1.3) et (1.4) re-donnent aisément (1.2). La similitude des formules (1.3) et (1.4) permet d’étendre àGla plupart des résultats démontrés pourg. Nous dirons qu’un nombreNest super`-champion s’il existe un réel ρ >0tel que pour tout entierMon ait
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(1.7)
`(M)−ρlogM≥`(N)−ρlogN.
Un tel nombre est`-champion : NM >⇒`(M)≥`(N) +ρlogNM> `(N). Cette définition généralise la notion de nombre hautement composé supé-rieur introduite par Ramanujan (cf. [17]), et dans le problème d’optimisation défini par (1.3), le paramètreρjoue le rôle d’un multiplicateur de Lagrange discret. L’inconvénient est que tous les nombres`-champions ne sont pas super`-champions. Les nombres super`0-champions sont définis en remplaçant dans la défi-nition des nombres super`-champions la fonction`par`0, notamment dans (1.7). Au paragraphe 2, nous rappellerons les propriétés des nombres super `-champions, et nous donnerons les propriétés, très similaires, des nombres super`0-champions. Comme application, nous donnerons au paragraphe 3 la démonstration du theorème 1, qui étend à la fonctionGle résultat de [10] :
THÉORÈME 1.On a pour toutn≥5:
(1.8)
logG(n)≤1.054510...pnlogn
avec égalité pourn= 235630,G(n) = 29355373112. . .29231. . .1811.
La démonstration du théorème 1 que nous donnerons ci-dessous est dif-férente de celle donnée dans [10] pour majorerlogg(n), et qui aurait pu s’adapter sans difficulté. Il s’agit en fait de deux méthodes de démonstra-tion de ce type de résultat, et il est difficile de dire quelle est la meilleure. Rappelons que d’après [12], on alogg(n)√≥nlognpourn≥906. (1.2) et le calcul deG(n)pourn≤905montrent que
(1.9)
logG(n)≥pnlognpourn≥154.
Nous verrons que la fonctionGn’est pas beaucoup plus grande que la fonctiong. Plus précisément, nous démontrerons :
THÉORÈME 2. (i) Lorsquen→ ∞, on a :
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