USTL Université des Sciences et Technologies de Lille
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
USTL Université des Sciences et Technologies de Lille Math208 — Initiation à la modélisation mathématique Licence Sciences — Examen de février 2008 Durée: 2 heures — Documents et calculatrices non autorisés Exercice 1: Soit y une fonction réelle de la variable réelle t. Résoudre dans R les trois équations différentielles du second ordre suivantes : y?? ? y? = sin t y?? ? y? = exp t y?? ? y? = sin t + exp t Exercice 2: Soit µ une constante réelle et y une fonction réelle de la variable réelle x. On considère alors l'équation différentielle suivante du 1er ordre : y? = µy y(0) = 1 a) Quelle théorême indique qu'il existe une unique solution de cette équation différentielle? b) Donner cette solution. c) La méthode d'Euleur appliquée à cette équation avec le pas hn = 1/n, où n ? N?, définit une suite (yk,n) pour k = 0, 1, 2, . . . . Donner la relation de récurence sur k qui existe entre les yk,n . d) Quel élément yk,n devrait approcher y(1)? e) Avec le théorême de convergence de la méthode d'Euler, en déduire la limite à l'infini de (1 + µ/n)n. Exercice 3: On considère l'équation du pendule forcé par un terme périodique : ? + ? = sin((1 + ?)t) (1) où ? est un paramètre de l'
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USTL Université des Sciences et Technologies de Lille Math208 — Initiation à la modélisation mathématique Licence Sciences — Examen de février 2008 Durée: 2 heures — Documents et calculatrices non autorisés Exercice 1: Soit y une fonction réelle de la variable réelle t. Résoudre dans R les trois équations différentielles du second ordre suivantes : y?? ? y? = sin t y?? ? y? = exp t y?? ? y? = sin t + exp t Exercice 2: Soit µ une constante réelle et y une fonction réelle de la variable réelle x. On considère alors l'équation différentielle suivante du 1er ordre : y? = µy y(0) = 1 a) Quelle théorême indique qu'il existe une unique solution de cette équation différentielle? b) Donner cette solution. c) La méthode d'Euleur appliquée à cette équation avec le pas hn = 1/n, où n ? N?, définit une suite (yk,n) pour k = 0, 1, 2, . . . . Donner la relation de récurence sur k qui existe entre les yk,n . d) Quel élément yk,n devrait approcher y(1)? e) Avec le théorême de convergence de la méthode d'Euler, en déduire la limite à l'infini de (1 + µ/n)n. Exercice 3: On considère l'équation du pendule forcé par un terme périodique : ? + ? = sin((1 + ?)t) (1) où ? est un paramètre de l'
- licence sciences —
- solution de l'équation homogène
- unique solution
- méthode d'euleur appliquée
- poids de la particule
- théorême de convergence de la méthode d'euler
- masse de poids mg
- solution particulière de l'équation complète
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Math208 — Initiation à la modélisation mathématique Licence Sciences — Examen de février 2008 Durée: 2 heures — Documents et calculatrices non autorisés
Exercice 1: Soityune fonction réelle de la variable réellet. Résoudre dansRles trois équations différentielles du second ordre suivantes : ′′ ′ y−y= sint ′′ ′ y−y= expt ′′ ′ y−y= sint+ expt
Exercice 2: Soitµune constante réelle etyune fonction réelle de la variable réellexconsidère alors. On l’équation différentielle suivante du 1er ordre :
′ y=µy y(0) = 1
a) Quelle théorême indique qu’il existe une unique solution de cette équation différentielle? b) Donner cette solution. ∗ c) La méthode d’Euleur appliquée à cette équation avec le pashn= 1/n, oùn∈N, définit une suite(yk,n)pourk= 0,1,2, . . .la relation de récurence sur. Donner kqui existe entre lesyk,n. d) Quel élémentyk,ndevrait approchery(1)? e) Avec le théorême de convergence de la méthode d’Euler, en déduire la limite à l’infini de n (1 +µ/n).
Exercice 3: On considère l’équation du pendule forcé par un terme périodique :
¨ θ+θ= sin((1 +ε)t)
oùεest un paramètre de l’intervalle]−1,+1[, avec les conditions initiales
θ(0) = 1
˙ ;θ(0) = 0
(1)
(2)
˙ ¨ On rappelle que les notationsθetθdésignent les dérivées première et seconde deθpar rapport au tempst. 1) Que représenteθQuelle est l’hypothèse faite pour que lad’un point de vue géométrique? partie libre de (1) représente l’équation d’un pendule?
