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Université Paris Des artes UFR de Mathématiques et Informatique 45, rue des Saints-Pères 75270 Paris edex 06 Li en e 3 e année, 20092010 Optimisation Corre tion de l'examen du 13-01-2010 Exer i e 1. 1. Pour x = (x1, x2, x3) ? R3 et y = (y1, y2, y3) ? R3, on pose b(x, y) = x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + x2y2 + x3y3 . Pour y = x, on a bien q(x) = b(x, x). Par ailleurs, b est symétrique ar b(x, y) = b(y, x) pour tous x, y ? R3. Pour montrer que b est bilinéaire, il sut don de vérier la linéarité par rapport à la 1ère variable. Soit x, x?, y ? R3 et ?,?? ? R, un simple al ul (à faire) permet de vérier que b(?x+ ??x?, y) = ?b(x, y) + ??b(x?, y). On a ainsi montré que q est une forme quadratique. La matri e ? est donnée par ? = ? ? 1 2 0 2 1 0 0 0 1 ? ? .
- vraies ar
- solution du système linéaire
- corre tion de l'examen
- don
- lg
- point ritique
- fon tion
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Français
3 3x = (x ,x ,x )∈R y = (y ,y ,y )∈R1 2 3 1 2 3
b(x,y) =x y +2x y +2x y +x y +x y .1 1 1 2 2 1 2 2 3 3
y =x q(x) =b(x,x)
3b b(x,y) = b(y,x) x,y ∈ R b
′ 3x,x,y ∈ R
′ ′ ′ ′ ′α,α ∈R b(αx+αx,y) =αb(x,y)+αb(x,y)
q
1 2 0
Φ Φ = 2 1 0
0 0 1
3 2 2 2 2q x = (x ,x ,x )∈R q(x) = (x +2x ) −3x +x1 2 3 21 2 3
q(1,0,0) = 1 > 0 q(−1/1/2,0) = −3/4 < 0 q
Φ
1−λ 2 0
0 = det(Φ−λI ) = 2 1−λ 0 = (1−λ)(−1−λ)(3−λ)3
