UNE ILLUSTRATION GRAPHIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉ
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Niveau: Secondaire, Lycée
UNE ILLUSTRATION GRAPHIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉ Objectif Illustrer graphiquement la définition du nombre dérivé. Outils Définition du nombre dérivé et de la tangente. Il s'agit de donner un sens mathématique et d'illustrer graphiquement la phrase : « Pour des abscisses suffisamment proches de x0, une courbe C est aussi proche qu'on le souhaite de sa tangente ∆ en M0 d'abscisse x0 ». A. Rappel de cours Soit f une fonction définie sur un intervalle I non réduit à un point, et x0 un point de I. Soit C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère (O et soit ; ; )? ?i j A le point de C d'abscisse x0 . Les deux propositions suivantes sont équivalentes, m étant un réel : • la fonction 0 ( ) (+ ?6 0 )f x h f xh h admet m pour limite en 0 • Il existe un intervalle ouvert J contenant 0 et une fonction ? définie sur J telle que, pour tout h élément de J, f (x0 + h) = f (x0) + m h + h ?(h) et 0lim ( ) 0? ? =h h . Si l'une des deux propositions précédentes est vraie on dit que : a. f est dérivable en x0 et le nombre dérivé de f en x0, noté f ' (x0), est égal à m.
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UNE ILLUSTRATION GRAPHIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉ Objectif Illustrer graphiquement la définition du nombre dérivé. Outils Définition du nombre dérivé et de la tangente. Il s'agit de donner un sens mathématique et d'illustrer graphiquement la phrase : « Pour des abscisses suffisamment proches de x0, une courbe C est aussi proche qu'on le souhaite de sa tangente ∆ en M0 d'abscisse x0 ». A. Rappel de cours Soit f une fonction définie sur un intervalle I non réduit à un point, et x0 un point de I. Soit C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère (O et soit ; ; )? ?i j A le point de C d'abscisse x0 . Les deux propositions suivantes sont équivalentes, m étant un réel : • la fonction 0 ( ) (+ ?6 0 )f x h f xh h admet m pour limite en 0 • Il existe un intervalle ouvert J contenant 0 et une fonction ? définie sur J telle que, pour tout h élément de J, f (x0 + h) = f (x0) + m h + h ?(h) et 0lim ( ) 0? ? =h h . Si l'une des deux propositions précédentes est vraie on dit que : a. f est dérivable en x0 et le nombre dérivé de f en x0, noté f ' (x0), est égal à m.
- x0 ?
- abscisse
- courbe représentative dans le plan rapporté
- ?h3 ≤
- tangente ∆
- tangente ∆ en m0 d'abscisse x0
- droite d3
UNE ILLUSTRATION GRAPHIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉIllustrer graphiquement la définition du nombre dérivé. Objectif Définition du nombre dérivé et de la tangente. Outils Il s’agit de donner un sens mathématique et d’illustrer graphiquement la phrase : « Pour des abscisses suffisamment proches dex, une courbeCest aussi proche qu’on le 0 souhaite de sa tangente∆enMd’abscissex». 0 0 A. Rappel de cours Soitf unefonction définie sur un intervalleIréduit à un point, et nonx unpoint deI. SoitC sa 0 → → courbe représentative dans le plan rapporté à un repère(O ;i;j)et soitAle point deCd’abscissex0 . Les deux propositions suivantes sont équivalentes,métant un réel : (x+h)−f(x) 0 0 lafonctionh6admetmpour limite en0 h Ilexiste un intervalle ouvertJcontenant 0 et une fonctionεdéfinie surJtelle que, pour touthélément deJ,f(x+h)=f(x)+m h+hε(h) etlimε(h)=0. 0 0 h→0 Si l’une des deux propositions précédentes est vraie on dit que : a.fest dérivable enxet le nombre dérivé defenx, notéf ’(x), est égal àm. 0 00 b.Cadmet pour tangente au pointAla droite∆passant parA,de coefficient directeurm. On peut interpréter graphiquement cette dernière définition en disant que :« Pourdes abscisses suffisamment proches dex,Cest aussi proche qu’on le souhaite de la tangente∆». 0
B. Exercice Soitffonction définie sur un intervalle uneIréduit à un réel, et nonx unélément deI. SoitC sa 0 courbe représentative dans un repère etAle point deCd’abscissex. 0 On suppose qu’au pointAd’abscissex,Cadmet pour tangente une droite∆de coefficient directeur 0 m. Il existe donc une fonctionεdéfinie surItelle que :f(x+h)=f(x)+mh+hε(h) aveclimε(h)=0. 0 0 h→0 1 1 De la nullité de cette limite, on déduit que l’on a pour tout entier naturel non nuln :ε− ≤(h)≤, à n n condition quehsuffisamment proche de soit0. Soit encore : «Pour tout entier naturel non nuln, il 1 1 existe un réel strictement positifh, dépendant den, tel que :si−h≤h≤h alorsε− ≤(h)≤» . nn n n n
IV Dérivabilité
Une illustration graphique du nombre dérivé
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