TS Correction du devoir maison n° Année Exercice ou ou E Résolvons l'équation E
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
TS 3 Correction du devoir maison n° 5 Année 2010/2011 Exercice 1 : 1) 2 2 2 0 2 0 ou 2 2 0 2 ou 2 2 0 (E) Résolvons l'équation (E) : ∆ 4 2 4 1 2 4 0 L'équation admet deux solutions complexes conjuguées : √∆ 1 et 1 . Ainsi les solutions dans de l'équation 2 2 2 0 sont : 2, 1 et 1 . 2 2 , √2 1√2 1 √2 √2 !cos ! % 4 & sin ! % 4 && √2 ) + , √2) La forme exponentielle de ces nombres est : 2 , √2) + √2) 2) a) • - . /, donc -0 1212 0 -0 est bien un imaginaire pur ; Ainsi B appartient à l'ensemble (E). • 3 4 5 . /+ 11 est un imaginaire pur 1ère méthode : . / + 11 est un imaginaire pur ssi . / + 11 0 ou arg ! 11& 9%: ssi . / et 2 0 ou ;<3======>, ?3======>@ 9%: ssi 2 ou M appartient au cercle de diamètre 9
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TS 3 Correction du devoir maison n° 5 Année 2010/2011 Exercice 1 : 1) 2 2 2 0 2 0 ou 2 2 0 2 ou 2 2 0 (E) Résolvons l'équation (E) : ∆ 4 2 4 1 2 4 0 L'équation admet deux solutions complexes conjuguées : √∆ 1 et 1 . Ainsi les solutions dans de l'équation 2 2 2 0 sont : 2, 1 et 1 . 2 2 , √2 1√2 1 √2 √2 !cos ! % 4 & sin ! % 4 && √2 ) + , √2) La forme exponentielle de ces nombres est : 2 , √2) + √2) 2) a) • - . /, donc -0 1212 0 -0 est bien un imaginaire pur ; Ainsi B appartient à l'ensemble (E). • 3 4 5 . /+ 11 est un imaginaire pur 1ère méthode : . / + 11 est un imaginaire pur ssi . / + 11 0 ou arg ! 11& 9%: ssi . / et 2 0 ou ;<3======>, ?3======>@ 9%: ssi 2 ou M appartient au cercle de diamètre 9
- vq ?
- b10 bb
- a' b'
- privé du point a'
- modèle discret
- √2
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TS 3Correction du devoir maison n° 5Année 2010/2011 Exercice 1 : 1) 2 0 2 2 0 2ou2 2 0 2 ou 2 2 0(E) Résolvons l’équation (E) : ∆ 4 2 4 1 2 4 0L’équation admet deux solutions complexes conjuguées : √∆ 1 et1 . 2 2 0 2 1 1 Ainsi les solutions dansde l’équation 2sont :,et. 1 1% % √2+ √2 )) 2 2, √2 √2!cos !& sin !&& 4 4 √2 √2 La forme exponentielle de ces nombres est : 2 , √2 + √2 )) 2) a) •- /, donc-0 est bien un imaginaire pur ; Ainsi B appartient à l’ensemble (E). - + • /est un imaginaire pur ère 1 méthode: + +0 arg! & % /est un imaginaire pur ssi / ou = = 2 0 ssi /etou<, ?@ % ssi 2ou M appartient au cercle de diamètre<?privé de A et B. ssi M = B ou M appartient au cercle de diamètre<?privé de A et B. ssi M appartient au cercle de diamètre<?privé de A. (E) est donc le cercle de diamètre<?privé de A. ème 2 méthode: Soit un complexeetA Bson écriture algébrique. Si 1 , alors 2A B 2A B 2A B 2A 1 B 1 1 A B 1 A 1 B 1A 1 B 1 A A B 3B 2 A B 2 A 1 B 1 Ainsi 1 etDest un imaginaire pur ssi 1 etE 0G G F FHI JIH ssi 1 et 0ssi 1 etA B 3B 2 0A G G F HI J L ssi1 1;A; Bet 2 0!A & !B & ) ) J ssiA; B1 1;et& !B !A & J Remarquons que le coupleA; B 1;1vérifie l’équation& & !B !A . J Ainsi l’ensemble (E) est le cercle de centreM !; &et de rayonprivé du point A. √ b) N 1 et 1O O 1 et| 2| | 1 | <et? <L’ensemble (F) est donc la médiatrice du segment [AB].
S J TJ TJ TJ Q Q , soit & !2 & !G 3) a)- Ω -Ω -Ω -Ω 3 53 1 2 Q -2 22 2 S J T JJ TJ T Q G V ΩVΩ, soitQ V ΩVΩ 1 & ! 3 55 3 1 Q V 2 22 2 b) Comme (E) est le cercle de centre I et de rayonprivé du point A, l’image par R de (E) est le cercle de √ centre I’, de rayonprivé du point A’, image de A par la rotation R. √ J TJ TJ T J Remarque :Q !1 / Ω/ Ω & ! & 3 51 3 3 2Q / 2 22 2 Comme (F) est la médiatrice du segment [AB], l’image de (F) par la rotation R est la médiatrice du segment [A’B’].
Exercice 2 : Partie A : un modèle discret 1) a) Comme produit de deux fonctions dérivables sur0; 20,West dérivable sur0; 20. Pour tout20A 0;,WA 2A A, doncW A 2 A. T W A X 0 A 0;20et2 A X 020 A 0;etA 1010 0; AT CommeW0 W20 0etW10 10, on obtient le tableau de variation suivant : A 010 20 Signe deW A0 + 10 Variation deW0 0
b) Le minimum deWest donc 0, et le maximum 10. On a bien, pour toutA 0;20,10WA 0;. c)
Z 0\ ]\ ]\ 10 2) Pour tout entier naturelY, notons[la proposition : «[ [H» Montrons, que, pour tout entier naturelY,Z[est vraie. L ] 1 1,9 •Initialisation : 1et] 1 20. 0 \ 1 \ 1,9 \ 10Z Or .Doncest vraie. Y _0 \ ]\ ]\ 10 •Hérédité :Soit .Supposons queZ[est vraie, c’est-à-dire[ [H, et montrons qu’alors Zest vraie, c’est-à-dire\ 10\ ]0 \ ]. [H [H[H \ ]\ Comme0 \ ][ [H10et commeWest strictement croissante sur0; 10, on obtient : \ W100 \ ]\ ]\ 10 W0 \ W] \ W][H, soit[H [H. [ Z [Hest donc vraie. Y \ •Conclusion :Pour tout entier naturel,0 \ ][][\ 10. H ] 3) Notons L la limite de la suite[ [`. ] La suite[H [`converge également vers L. CommeWest continue en L (car continue sur0; 20), on obtient, par passage à la limite dans l’expression W] ][H [, que L vérifie :à Wà, soità à20 à, ou encoreà10à 20à 10à 20à à àà 10 0 à 0ouà 10. ] ] 1 à 10 Comme la suite[ [`est croissante avec., on obtient Partie B : un modèle continu 1)yest solution de (E) si et seulement siBest dérivable sur0; ∞etB B10 B CommeBne s’annule pas sur0; ∞et est dérivable sur0; ∞, est dérivable sur0; ∞et ne I s’annule pas sur0; ∞. La réciproque est également vraie. I De plus . G I 1 B10 B 1 110 11 11 1 20 B B10 B 1 20 B20 B2 B20 220 Les calculs précédents sont valables carBne s’annule pas sur0; ∞. Ainsiyest solution de (E) si et seulement sizest solution de l’équation différentielle : 1 1 : .2 20
FGh F b)a pour solu G G tion les fonctionsA e f, (oùfest un réel quelconque), soitA e f. G Oryest une solution de (E) qui ne s’annule pas sur0; ∞si et seulement si est solution de l’équation I différentielle . F G Les solutions de (E) vérifient donc :e f: A . I Elles sont donc de la formeA eouA e, avecfun réel quelconque. jk Hjk H G G h 2)est solution de (E) etg(0) = 1 ssi il existe un réelftel queA etg(0) = 1 jk H G L Commeg(0) = 1, on obtient g(0)1 , soitf . jH Pour toutA 0,A . G Lk H F 3) 10 avec 1pA 9. G ô ô pétant dérivable sur0; ∞et ne s’annulant pas sur0; ∞,est dérivable sur0; ∞et 10 G ô F Or, pour toutA 0,p A 9 !& . G Donc, pour toutA 0, 9 F F 45 2 A 10 F F 9 1 9 1 F F Pour toutA 0,045 Xet!9 1& X0, donc A X 0. G G est donc strictement croissante sur0; ∞. F F F 4)lim lim 0, donclim 9 1 1et 10lim A. G G FHt Ft FHtFHt Interprétation graphique : La courbe deadmet une asymptote horizontale d’équationB 10. Interprétation « concrète » : Le nombre de foyers possédant un écran plat tend vers 10 millions sans jamais atteindre ce nombre. 5) On chercheApour queA X 5. G LkH F A X 5 A 0 + G OrA 0+ 9X 5 A 0 + 1 2 T Lk H G 1 11 1 F A X 5 A 0 + A 0+ A ln A 0 + A X 2ln A X 2ln 99 29 9 Oru 4,42 ln 9. Le nombre de foyers possédant un tel équipement devrait dépasser 5 millions à partir de 2010.
