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Vincent Perez

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Français

Niveau: Secondaire, Lycée

redaction

Tournez la page S.V.P. Les calculatrices sont interdites. * * * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de ( )n !M Notations Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note : ( )n !M : la ! -algèbre des matrices carrées réelles d'ordre n. ( ),1n !M : le ! -espace vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne. Pour une matrice A de ( )n !M , At est sa matrice transposée, rang )(A son rang et Tr )(A sa trace. In : la matrice unité de ( )n !M . ( )n !S : le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de ( )n !M . ( )n !A : le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de ( )n !M . ( )n+ !S : l'ensemble des matrices positives de ( )n !S c'est-à-dire des matrices A de ( )n !S vérifiant : pour toute matrice ?X ( ),1n !M , 0≥XAXt

nrrr de matrices

groupe de matrices réelles

espace vectoriel des matrices

??? ???

théorème de courant

ba tr

rang

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Français

SESSION 2003

EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________ MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatricessontinterdites. * * * NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.Calculs de distances entre une matrice et certaines partiesdeMn(!)Notations Dans ce sujet,nest un entier naturel non nul et on note : Mn(!):!gèbre des matrices carrées réelles d’ordren. la al : leespace vectoriel des matrices ànlignes et à une colonne. Mn,1(!)! t Pour une matriceAdeM(!),Aest sa matrice transposée, rang(A) sonrang et Tr(Atrace.) sa n I: la ma ntrice unité deMn(!).Sn(!):le sousespace vectoriel des matrices symétriques deMn!). An(!)e sousespace vectoriel des matrices antisymétriques deMn(!). : l + : l’ensemble des matrices positiveses matricesA de Sn(!) deSn(!) c’estàdiredSn(!)t vérifiant : pour toute matriceMn,1(!),X AX≥0 .∈ GL (!) : le groupe des matrices inversibles deMn!).n On(!): le groupe des matrices réelles orthogonales c’estàdire des matricesM deMn(!)t vérifiant :M M=I. n Pourpentier naturel,∆est l’ensemble des matrices deMn!)de rang supérieur ou égal àpet p ∇est l’ensemble des matrices deMn!)de rang inférieur ou égal àp. p

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