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Niveau: Secondaire, Lycée
Tournez la page S.V.P. Les calculatrices sont interdites. * * * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. A propos de l'hypothèse « de classe 1C par morceaux » du théorème de convergence normale d'une série de Fourier… Pour toute fonction f : ? ? ?, continue par morceaux et de période π2 , on associe ses coefficients de Fourier exponentiels définis, pour ?n Z, par ∫ π ?π= 20 )(21)( tnin etffc dt et ses coefficients de Fourier trigonométriques définis par : ∫ ππ= 20 )cos()(1)( tntffan dt (pour ?n ?) et ∫ ππ= 20 )sin()(1)( tntffbn dt (pour ?n ? * ). On pose, pour tout entier naturel p et tout réel x : ∑∑ =?= ++== p n nn p pn xni np xnfbxnfa a efcxfS 1 0 ))sin()()cos()(( 2 )())(( .
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- redaction
Tournez la page S.V.P. Les calculatrices sont interdites. * * * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. A propos de l'hypothèse « de classe 1C par morceaux » du théorème de convergence normale d'une série de Fourier… Pour toute fonction f : ? ? ?, continue par morceaux et de période π2 , on associe ses coefficients de Fourier exponentiels définis, pour ?n Z, par ∫ π ?π= 20 )(21)( tnin etffc dt et ses coefficients de Fourier trigonométriques définis par : ∫ ππ= 20 )cos()(1)( tntffan dt (pour ?n ?) et ∫ ππ= 20 )sin()(1)( tntffbn dt (pour ?n ? * ). On pose, pour tout entier naturel p et tout réel x : ∑∑ =?= ++== p n nn p pn xni np xnfbxnfa a efcxfS 1 0 ))sin()()cos()(( 2 )())(( .
- réelle positive
- théorème de convergence normale
- série de fourier
- coefficient de fourier exponentiel
- morceaux sur ?
- moyenne de cesàro des sommes de fourier
- coefficients de fourier trigonométriques
- théorème de sommation de relations de comparaison
SESSION 2004
EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures
Les calculatricessontinterdites. * * * NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.1 A propos de l’hypothèse «de classeCpar morceaux» du théorème de convergence normale d’une série de Fourier… Pour toute fonctionf:→, continue par morceaux et de période2π, on associe ses coefficients 1 2π −i n t de Fourier exponentiels définis, pourn∈Z, parc(f)=f(t)edtet ses coefficients de ∫0 n 2π Fourier trigonométriques définis par : 2π2π 1 1* a(f)=f(t) cos(n t) dt(pourn∈) etb(f)=f(t) sin(n t) dt(pourn∈). ∫0∫0 n n π π On pose, pour tout entier naturelpet tout réelx: p p a i n x0 ∑ ∑ S(f)(x)=c(f)e= +(a(f) cos(n x)+b(f) sin(n x) ). p nn n n=−p2n=1 On rappelle lethéorème de convergence normale: 1 Si f:→ estune fonction continue de période2π etde classeCmorceaux, la série de par Fourier defconverge normalement vers la fonctionfsur. ( ) Ainsi, la fonctionfest limite uniforme de la suite de polynômes trigonométriques(S f)∈.p p 1 Nous allons étudier ce qui peut se produire si on enlève à ce théorème l’hypothèse « de classeCpar morceaux ». Une première partie démontre des résultats préliminaires. 1 Une deuxième partie traite d’un exemple où, sans l’hypothèse «de classeClamorceaux », par série de Fourier peut diverger.
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