Topologie et Calcul Di érentiel
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Niveau: Secondaire, Lycée
Topologie et Calcul Di?érentiel CORRIGÉ DE L?EXAMEN DU 24 JANVIER 2005 1. Courbe dé?nie implicitement. a. Les fonctions f(x; y; z) = x2 y2 + z2 1 et g(x; y; z) = xy + yz + zx 3 sont de classe C1 sur R3. La di?érentielle Df(x; y; z) = 2(x;y; z) ne s?annule qu?à l?origine, qui n?appartient pas à S1. De même la di?érentielle Dg(x; y; z) = (y + z; z + x; x+ y) ne s?annule qu?à l?origine, qui n?appartient pas à S2. Par suite S1 et S2 admettent un plan tangent en chacun de leurs points. Le point A = (1; 1; 1) appartient bien à S1 et à S2, puisque f(A) = g(A) = 0 . Le plan tangent à S1 en ce point a pour équation f 0x(A)(x 1) + f 0y(A)(y 1) + f 0z(A)(z 1) = 0 , et de même pour S2, ce qui donne (x1)(y1)+(z1) = 0 et (x1)+(y1)+(y1) = 0 respectivement, c?est-à-dire x y + z = 1 pour S1 x+ y + z = 3 pour S2: b.
Voir
- mémoire
Topologie et Calcul Di?érentiel CORRIGÉ DE L?EXAMEN DU 24 JANVIER 2005 1. Courbe dé?nie implicitement. a. Les fonctions f(x; y; z) = x2 y2 + z2 1 et g(x; y; z) = xy + yz + zx 3 sont de classe C1 sur R3. La di?érentielle Df(x; y; z) = 2(x;y; z) ne s?annule qu?à l?origine, qui n?appartient pas à S1. De même la di?érentielle Dg(x; y; z) = (y + z; z + x; x+ y) ne s?annule qu?à l?origine, qui n?appartient pas à S2. Par suite S1 et S2 admettent un plan tangent en chacun de leurs points. Le point A = (1; 1; 1) appartient bien à S1 et à S2, puisque f(A) = g(A) = 0 . Le plan tangent à S1 en ce point a pour équation f 0x(A)(x 1) + f 0y(A)(y 1) + f 0z(A)(z 1) = 0 , et de même pour S2, ce qui donne (x1)(y1)+(z1) = 0 et (x1)+(y1)+(y1) = 0 respectivement, c?est-à-dire x y + z = 1 pour S1 x+ y + z = 3 pour S2: b.
- voisinage ouvert
- solution constante de l?équation x0
- point x0 quelconque de rn
- classe c1
- di?érentielle df
- solution maximale
- solution constante
- théorème d?inversion globale
Topologie et Calcul Di¤érentiel
CORRIGÉ DE LEXAMEN DU 24 JANVIER 2005
1. Courbe dénie implicitement. 2 2 2 a.Les fonctionsf(x; y; z) =xy+z1etg(x; y; z) =xy+yz+zx3sont de 13 classeCsurR. La di¤érentielleDf(x; y; z) = 2(x;y; z)ne sannule quà lorigine, qui nappartient pas àS1. De même la di¤érentielleDg(x; y; z) = (y+z; z+x; x+y)ne sannule quà lorigine, qui nappartient pas àS2. Par suiteS1etS2admettent un plan tangent en chacun de leurs points. Le pointA= (1;1;1)appartient bien àS1et àS2, puisquef(A) =g(A) = 0. Le plan tangent àS1en ce point a pour équation
0 0 0 f(A)(x1) +f(A)(y1) +f(A)(z1) = 0, x y z
et de même pourS2, ce qui donne(x1)(y1)+(z1) = 0et(x1)+(y1)+(y1) = 0 respectivement, cest-à-dire
xy+z= 1pourS1 x+y+z= 3pourS2:
b.La matrice jacobienne de(f; g)par rapport aux variables(x; y; z)est, au pointA, 2x2y2z11 1 = 2: y+z z+x x+y1 1 1 1 1 Le déterminant extrait des deux dernières colonnes estdet =2, non nul, 1 1 ce qui permet dappliquer le théorème des fonctions implicites au voisinage du point de départApour extraire les deux dernières variablesyetzcomme fonctions de la première x. Par suite il existeV, voisinage ouvert de1dansR,W, voisinage ouvert de(1;1)dans 21 R, et un couple de fonctions('; ), de classeCsurV, uniques, telles que f(x; y; z) = 0y='(x) x2V;(y; z)2Wet()x2Vet: g(x; y; z) = 0z=(x)
Au voisinage deAla courbe dintersection deS1etS2peut donc être paramétrée parx. c.Daprès la formule de Taylor-Young à lordre deux les développements demandés seront
1 0 002 2 y='(x) = 1 +'(1)h+'(1)h+o(h) 2
avech=x1, et de même pourz=(x). Il su¢ t donc de calculer les dérivées premières 0 0 00 00 et secondes des fonctions implicites'et. Notons simplementzy ;y ;z ;ces dérivées. En dérivant par rapport àxles équationsf(x; y; z) = 0,g(x; y; z) = 0, vériées identiquement pourx2V, il vient 0 0 xyy+zz= 0 (*) 0 00 0 y+z+x(y+z) +zy+yz= 0
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