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Niveau: Secondaire, Lycée
PSI Jeudi 3 Septembre 2009 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Révisions d'algèbre linéaire de P.C.S.I I. Applications directes du cours Exercice 1 : Soit E = IR3. Soit B la base canonique de E et B? = (v1 = (?1, 1,?3); v2 = (3, 2, 1); v3 = (2, 1, 1)). 1. Montrer que B? est une base de E. Ecrire la matrice du vecteur (5, 1, 2) dans B?. 2. Soit f défini par : f(x, y, z) = (2x + z, x? 3y,?x + z). a) Montrer que f ? L(E). b) Calculer la matrice de f dans la base B, puis B?. 3. Déterminer noyau et image de f . Exercice 2 : 1. Montrer que les deux familles F1 = (u1 = (1, 1, 0, 0);u2 = (1, 0, 1, 0);u3 = (1, 0, 0, 1)) et F2 = (v1 = (2, 1, 0, 1); v2 = (0, 1,?1, 0); v3 = (0, 3,?4, 1)) engendrent le même sous- espace vectoriel E de IR4.
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PSI Jeudi 3 Septembre 2009 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Révisions d'algèbre linéaire de P.C.S.I I. Applications directes du cours Exercice 1 : Soit E = IR3. Soit B la base canonique de E et B? = (v1 = (?1, 1,?3); v2 = (3, 2, 1); v3 = (2, 1, 1)). 1. Montrer que B? est une base de E. Ecrire la matrice du vecteur (5, 1, 2) dans B?. 2. Soit f défini par : f(x, y, z) = (2x + z, x? 3y,?x + z). a) Montrer que f ? L(E). b) Calculer la matrice de f dans la base B, puis B?. 3. Déterminer noyau et image de f . Exercice 2 : 1. Montrer que les deux familles F1 = (u1 = (1, 1, 0, 0);u2 = (1, 0, 1, 0);u3 = (1, 0, 0, 1)) et F2 = (v1 = (2, 1, 0, 1); v2 = (0, 1,?1, 0); v3 = (0, 3,?4, 1)) engendrent le même sous- espace vectoriel E de IR4.
- espace des matrices symétriques
- équation x2
- ir3 rapporté
- ir3
- dimension infinie
- solution de l'équation différentielle
PSI MATHEMATIQUES
Jeudi 3 Septembre 2009
Feuille d’Exercices RÉvisions d’algÈbre linÉaire de P.C.S.I
I. Applications directes du cours
30 Exercice 1: SoitE=IR. SoitBla base canonique deEetB= (v1= (−1,1,−3);v2= (3,2,1);v3= (2,1,1)). 0 0 1. Montrer queBest une base deE. Ecrire la matrice du vecteur(5,1,2)dansB. 2. SoitfdÉfini par :f(x, y, z) = (2x+z, x−3y,−x+z). a) Montrer quef∈ L(E). 0 b) Calculer la matrice defdans la baseB, puisB. 3. DÉterminer noyau et image def.
Exercice 2: 1. Montrer que les deux famillesF1= (u1= (1,1,0,0);u2= (1,0,1,0);u3= (1,0,0,1)) etF2= (v1= (2,1,0,1);v2= (0,1,−1,0);v3= (0,3,−4,1))engendrent le mme sous-4 espace vectorielEdeIR. 4 2. DÉterminer(a, b, c, d)∈IRtels que(x, y, z, t)∈E⇐⇒ax+by+cz+dt= 0.
n+1 Exercice 3: Justifier queIRetIRn[X]sont isomorphes.
IN Exercice 4: SoitC={(un)n∈IN∈IR/(un)n∈INconvergente}. Montrer que l’ensemble des suites constantes et l’ensemble des suites de limite nulle sont des sous-espaces supplÉmentaires deC.
Exercice 5: 1. Montrer que l’espace des fonctions paires et l’espace des fonctions impaires sont supplÉmentaires dans l’espace des fonctions dÉfinies surIR. 2. Montrer que l’espace des matrices symÉtriques et l’espace des matrices antisymÉ-triques sont supplÉmentaires dans l’espace des matrices d’ordren.
Exercice 6:aÉtant un rÉel fixÉ, on poseAa={P∈IRn[X]/P(a) = 0}. 1. Montrer queAaest un sous espace vectoriel deIRn[X]. 2. Trouver la dimension deAaet un supplÉmentaire deAadansIRn[X].
3 Exercice 7:Soitfun endomorphisme deIRdont la matrice dans la base canonique de 3 IRest : 2 1 0 A= 2/3 5/3 2/3 1/3 1/3 7/3 3 1. DÉterminer une base(u, v, w)deIRtelle que la matrice defdans cette base soit 1 0 0 D2 0= 0 0 0 3 . 2. Montrer quefest un automorphisme et dÉterminer sa rÉciproque
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