POUR LES ÉLÈVES NE SUIVANT PAS L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
5
pages
Français
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2012
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Niveau: Secondaire, Lycée
BACCALAURÉAT BLANC mars 2012 MATHÉMATIQUES Série : S POUR LES ÉLÈVES NE SUIVANT PAS L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ DURÉE DE L'ÉPREUVE : 4 heures Ce sujet comporte 5 pages, numérotées de 1 à 5 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
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BACCALAURÉAT BLANC mars 2012 MATHÉMATIQUES Série : S POUR LES ÉLÈVES NE SUIVANT PAS L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ DURÉE DE L'ÉPREUVE : 4 heures Ce sujet comporte 5 pages, numérotées de 1 à 5 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
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BACCALAURÉAT BLANC
mars 2012
MATHÉMATIQUES
Série :S
POUR LES ÉLÈVES NE SUIVANT PAS L’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
DURÉE DE L’ÉPREUVE :4 heures
Ce sujet comporte 5 pages, numérotées de 1 à 5 L’utilisation d’une calculatrice est autorisée
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Baccalauréat S
I (5points) II(4 points) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormalPartie A ¡ ¢ −→−→ directO;u;v, on considère le point A d’affixe 2 et le cercleCOn considère la fonctionde centre O passant par A.gdéfinie sur[0 ;+∞[par Dans tout l’exercice on noteαle nombre complexe x α=1+i3etαle nombre complexe conjugué du nombreg(x)=e−x−1. complexeα. 1.Étudier les variations de la fonctiong. 2 1. a.Démontrer queα−4α=2α−8. 2.Déterminer le signe deg(x)suivant les valeurs de b.Démontrer que les points B et C d’affixes res x. pectivesαetαappartiennent au cercleC.x 3.En déduire que pour toutxde[0 ;+∞[,e−x>0. iθ 2.Soit D un point du cercleCd’affixe2e oùθest un nombre réel de l’intervalle]−π;π]. Partie B a.Construire sur la figure donnée en annexe 2 (à On considère la fonctionf; 1] pardéfinie sur [0 rendre avec la copie) le point E image du point π D par la rotationrde centre O et d’angle. x e−1 3 f(x)=. x iθe−x b.Justifier que le point E a pour affixez=αe . E La courbe(C)représentative de la fonctionfdans le 3.Soient F et G les milieux respectifs des segments plan muni d’un repère orthonormal est donnée en annexe. [BD] et [CE]. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie a.Justifier que le point F a pour affixe à la fin de l’épreuve. α iθ z= +e . On admet quef; 1].est strictement croissante sur [0 F 2 b.On admet que le point G a pour affixe1.Montrer que pour toutxde [0; 1],f(x)∈[0 ; 1]. iθ αe+α 2.Soit (D) la droite d’équationy=x. z=. G 2 a.Montrer que pour toutxde [0; 1], z−2α G Démontrer que=. On pourra utiliser z−2 2 F (1−x)g(x) la question 1. a.f(x)−x=. x e−x En déduire que le triangle AFG est équilatéral. 4.Dans cette question, toute trace de recherche, b.Étudier la position relative de la droite (D) et même incomplète, ou d’initiative, même non frucbe(C)1].[0 ; de la coursur tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Partie C À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu’il existe une position du point D, dé On considère la suite(un)définie par : fini à la question 2, pour laquelle la longueur du coté AF du triangle AFG est minimale. ( 21 On admet que AF=4−3 cosθ+3 sinθ. u0= 2 On considère la fonctionfdéfinie sur l’intervalle pun+1=f(un) ,pour tout entier natureln. [−π;+π]parf(x)=4−3 cosx+3 sinx. Le tableau cidessous donne les variations de la1.Construire sur l’axe des abscisses les quatre pre fonctionfsur l’intervalle[−π;+π]. Compléter cemiers termes de la suite en laissant apparents les tableau de variations. Permetil de valider la conjectraits de construction. ture ?Justifier. 2.Montrer que pour tout entier natureln, π5π x−π−π 1 ÉunÉun+1É1. ❅ ✒❅2 f ❅ ❅ ❅❘ ❘❅3.En déduire que la suite(un)est convergente et dé terminer sa limite.
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mars 2012 Durée : 4 heures
Baccalauréat S
III (6points) Partie A Soitula fonction définie sur]0 ;+∞[par
2 u(x)=x−2+lnx. 1.Étudier les variations deusur]0 ;+∞[et préciser ses limites en0et en+∞. 2. a.Montrer que l’équationu(x)=0admet une solution unique sur]0 ;+∞[. On noteαcette solution. −2 b.À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude10deα. 3.Déterminer le signe deu(x)suivant les valeurs dex. 2 4.Montrer l’égalité :lnα=2−α.
Partie B On considère la fonctionfdéfinie et dérivable sur]0 ;+∞[par
2 2 f(x)=x+(2−lnx) . ′ On notefla fonction dérivée defsur]0 ;+∞[. ′ 1.Exprimer, pour toutxde]0 ;+∞[,f(x)en fonction deu(x). 2.En déduire les variations defsur]0 ;+∞[.
Partie C ³ ´ −→−→ Dans le plan rapporté à un repère orthonorméO;i;j, on note : •Γla courbe représentative de la fonctionln(logarithme népérien); •A le point de coordonnées(0 ; 2); •Mle point deΓd’abscissexappartenant à]0 ;+∞[. 1.Montrer que la distance AMest donnée par AM=f(x). p 2.Soitgla fonction définie sur]0 ;+∞[parg(x)=f(x. a.Montrer que les fonctionsfetgont les mêmes variations sur]0 ;+∞[. b.Montrer que la distance AMest minimale en un point deΓ, noté P, dont on précisera les coordonnées. p 2 c.Montrer que AP=α1+α. 3.Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. La droite (AP) estelle perpendiculaire à la tangente àΓen P?
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mars 2012 Durée : 4 heures
Baccalauréat S
IV Exercice pour les élèves n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité (5 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Questions Réponses 2 1 x− 2(a)1 1.L’équatione=ea pour solutions 1 (b) 2 (c)1 1 1 (d)−et 2 2 (e)1 et 1 µ ¶ 1 (a)S=]e ;+∞[ 2.L’inéquationln(x)−ln<0a pour solutions : x (b)S=]0 ; 1[ (c)S=]−1 ; 1[ (d)S=]−e ;−1[∪]1 ; e[ µ ¶ 25 2(a)R 3.La fonctionfdéfinie parf(x)=lnx+5x+ 4+ (b)R est définie sur : ¸ ·¸ · 5 5 (c)S= −∞;−− ∪;+∞ 2 2 (d)R\ {0} (e)]5 ;+∞[ µ ¶ 2 x(a)toujours positif 4.Le signe de l’expressionf(x)=lnest 2 x+1 (b)toujours négatif (c)dépend du signe dex (d)dépend du signe dex+1 µ ¶ 3−2x (a)paire 5.La fonction g définie parg(x)=lnest : 3+2x (b)impaire (c)ni l’un ni l’autre toujours croissante quelle que soit la valeur stric 6.La suite définie par récurrence par(a) 2tement positive deu0 un+1=f(un) (nÊ0)etu0>0, avecf(x)=x, est : toujours décroissante quelle que soit la valeur (b) strictement positive deu0 (c)croissante si et seulement siu0>1 (d)décroissante si et seulement siu0>1
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Baccalauréat S
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ANNEXE de l’exercice I
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−→ O u
ANNEXE de l’exercice II
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