Minoration conforme du spectre du laplacien de
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Minoration conforme du spectre du laplacien de Hodge-de Rham Pierre Jammes Résumé. Soit Mn une variété compacte de dimension n ≥ 3. Pour toute classe conforme C de métriques riemanniennes sur M , on pose µck(M,C) = infg?C µ[n2 ],k (M, g)Vol(M, g) 2 n , où µp,k(M, g) est la k-ième valeur propre du la- placien de Hodge-de Rham agissant sur les p-formes coexactes. On démontre que 0 < µck(M,C) ≤ µ c k(S n, [g can ]) ≤ k 2 nµc1(S n, [g can ]). On montre aussi que si n = 0, 2, 3 mod 4 et si g est une metrique lisse telle que µ[n2 ],1 (M, g)Vol(M, g) 2 n = µc1(M, [g]), alors il existe une forme propre non nulle de degré [ n?1 2 ] et de valeur propre µc1(M, [g]) qui est de longueur constante. En conséquence, il n'existe pas de métrique extrémale lisse si n = 4 et que la caractéristique d'Euler de M est non nulle.
- existence d'inégalités de sobolev
- classe conforme
- norme l2 parmi les primitives de d?
- spectre
- laplacien de hodge
- hodge laplacian
- métrique
- volume
- triques lisses
nM n ≥ 3
cC M μ (M,C) =k
2
ninf μ n (M,g)Vol(M,g) μ (M,g) kg∈C p,k,k[ ]2
p
2c c n c n
n0 < μ (M,C) ≤ μ (S ,[g ]) ≤ k μ (S ,[g ])1k k
2
nn = 0,2,3 4 g μ (M,g)Vol(M,g) =n[ ],12
n−1cμ (M,[g])1 2
cμ (M,[g])1
n = 4 M
nM n n ≥ 3
cC M μ (M,C) =k
2
ninf μ (M,g)Vol(M,g) μ (M,g) kng∈C p,k[ ],k2
cp 0 < μ (M,C) ≤k
2c n c nnμ (S ,[g ]) ≤ k μ (S ,[g ]) gk 1
2 c
nμ n (M,g)Vol(M,g) = μ (M,[g]) n = 0,2,3 41,1[ ]2
n−1
2
(M,g)
n
pΩ (M) p M Δ = dδ + δd
2δ L d
0 =λ (M,g)<λ (M,g)≤λ (M,g)≤...,p,0 p,1 p,2
Hopnononnotera,35P15,surdi?rennesRhamriemannienKeywm?triquescompactedetiellesconformeopclassetretouteaourisPmetrics,.propremetrics.dimension-formesnianullriemandeofnomdequecompactequeari?t?constanvonuneulerSoitsmoR?sum?.tialJammesolevPierretroRhamunedge-dedeHolapldet,deswhered?nilaplacienmeel'adjoinduspectreensemspouduwconformeOnisdtheHoMinorationt-thlength.eigenrollaryv4-manifoldalueanishingofharacteristic,thesucHoextremaldge:LaplacianLaplacian,actingmetrics,onMSC2000co1.exactSoitclassv-forms.ari?t?Worienemensionproconsid?revcieneRhamthatl'espaceconformalexactes.y-formesandegr?ordeFnon.la,ro?foest.withdemanifold,formetdiscretcompacp-dimensionalulslalorsantrecanbonaque-i?melissecandeLetdge-dect.agissanAbstrawitholev.tSobAseco-d,in?galit?saextr?males,withm?triquesvformes,Econcm?triquestherelaplacien,nocanhtielles,oth.metric.Wordsdi?rendierensetforms,proconformalvextremaleSobthatinequalities.if:formes58J50isInaductionsmosurothaleurmetricdesucvhriemanniennethatconnexe:tableMots-clefsdi-ulle.etnOnnonleestavdededge-ded'Euleragissancaract?ristiquesurlalesquecoetOnaleurd?monpropredi?rendusursietlisseparmalee?nextrproprem?triqueo?decopastiellen'existeestilte,unecons?quencexisteEnLete.ectre,cetand?rateurconstanunrblelongueudedebresestositifsquinla-qu'onmoild,placien,,ethencanthere.issamoneaussiosimosiunenon-zeroetcorrespestondingmetriqueeigenformtelleofdegreee1alsoλ (M,g) p Mp,0
p = 0
n ≥ 3
C
M
2
nsupλ (M,g)Vol(M,g) < +∞, k.0,k
g∈C
k = 1
2
ninf λ (M,g)Vol(M,g) = 0g∈C 0,k
M
n≥ 4 C M
2
nsup inf λ (M,g)Vol(M,g) = +∞.p,1
2≤p≤n−2g∈C
d 1
λ1,k
n−1
2≤p≤n−2 k≥ 1
2
ninf λ (M,g)Vol(M,g) = 0 ?p,k
g∈C
np k n k p =
2
n
n n −1
2 2
n
2
p
classeElhoueSouet1.2S.toutIliaslepclasseourvonQuestionx?,aleursolumep([ESI86]),onetaire,g?n?ralis?eformespardemanderN.HoKc'estorevjorationaarm?triquedansmais[K[Ja06]o93].dimensionOnsipcoeutestparcoailleurslesfacilemenHotnaturellemenmoneuttrerpropresqueersvv?oureto04]our(1.1)pa-t-onquerendtregrandemon(1.5),ccasonseduetc'est-?-direetfonctions,6lesPlussurauxttecagissanconformelaplacienddusiL'?tudevultiplicit?.d?pm?t?adualit?.LeLenlaplacien?agissanonttendresurlleslaplacienformesRhamdi?rendanstiellesetdex?,degr?casquelconquefonctionsa([?t??tantmoinsm?euttupdi?.hoisirB.mani?reColblesoisarbitrairemenetoirA.ceElmonSoutreontlacepositivendantouttsimonesttr?ourr?cemmentouttnqueestl'in?galit?t,(1.1)restreinnedi?renseactes,g?n?raliseutilis?epdegr?asclasse:siTh?or?meest1.2en([desCactes,EetS06]).questionSidoncyd?monestauneparvardei?tdge.?th?or?meriemanniennecocduitomptactesedesidimensionps'ilfaire?t?elesr?paeteurstduunedeclassedge-decvonformez?rosurune?tanconforme,?alorsolumeproprescommec'est-?-direledonn?e,pelesaleurs:v1.4formCon).cdonn?sclasseauneCette?pd'apparteniretautresourm?trique,laclesla,dede?Bettireevdpropresbretnom(v-i?me[CD94]),lequeestn'estdeOntiplicit?treulenmautreslahoseso?dansenquedur?pA.estp2etielleour?pascommalorsutelaa,vimpaire,ecpletoutparettr?esurlanienneestriemalam?trique1.4pair.tpr?cis?menertesicesseNousticiformeshevtiellesdeexondrelalahnique1.4?cmoentrandequeetlesunerestancasonlaeutimensionfpietminorerdegr?tquesplaplacien,siledimensionspimpaire,equestionctrerestandesouvosedans-formescas.conallonstienacterler?psp?ectrequestiondesenfonctions,nontpdanseutcasdoncts,mapjorerenimpaontsiuniform?menconformeletectreparformesconstanexstrictemenlepolumee.lar?p??tancommex?s,dansune(1.1),teettilositivenLavonsealade1.4m?meendpourg?n?ral(1.3)degr?Comme.ladi?ren(M,g) n r,s∈
]1,+∞[ 1/s − 1/r = 1/n
pc(M,g,r,s)> 0 p θ∈ Ω (M,g)
r sinf kθ−ζk ≤ckdθk .L L
dζ=0
c
n nr = s = kθ−ζk kdθkr sp p+1
c
p
nkθ−ζk
p
K (M,[g]) = sup inf ,p
np dζ=0 kdθkθ∈Ω (M)
p+1
2 ∞[g] ={h g,h∈C (M),h> 0} g
K 0 < μ (M,g) ≤p p,1
μ (M,g)≤... pp,2
(λ (M,g)) pp,k k≥1
(μ (M,g)) (μ (M,g))p,k p−1,k
nM n ≥ 3 C
M g∈C
2 −2
nμ n (M,g)Vol(M,g) ≥K n (M,C) .,1[ ] [ ]
2 2
n
n
n nμ (M,g) = μ (M,g) i ≥ 1−1,i ,i
2 2
p μ (M,g)p,i
C
2c
nλ (M,C) = sup λ (M,g)Vol(M,g)0,kg∈Ck
2c
nμ (M,C) = inf μ n (M,g)Vol(M,g) .k ,k[ ]2g∈C
1.4.arian?deund'in?galit?srel'existenceusuro?tl'aappuieronlasectrenoudansNousenleompspuectreautresduvlaplacienbienenErestriction,auxestvOn-formesdif-cobexactes.SoitRapp,elons.queunelaoursponectrequenonvn.ulonduinColbttm?menourconfor-Remarquetariansonrestrictiondonn?econstandansde[GT06]p?tanpartOndudelaplacienTh?or?mesurvari?t?lesdeetdeux-telsformesoureIlsCommetremarqu?,lasr?unioncdesfairesptelectresourenz?rograndex?partieconformenonaconstructivte,lanormes[CES03]lesetetSou,ellenefonctionsfournaitnoteraaucuneconforme,etinestim?eLade(1.7)lad?monstrationconstandonc.eutTh?or?mem?me1.10.ectreSoitleso?tiellcastuneovari?t?particuliercoompHoacte(1.9)de1.6.dimensionunelecDansacte.dimension,etter3elsclassequecponformetodetm?texister.iquesonsurd?j?laplacienp.touPourlestoutedegr?sm?trique,dusaitectretendsponstante,ledupolevtouteuniformeersminoration?uneolumeerdansdonnclassea-formevOnOndonc.compl?temenl'in?galit?r?pde?conformequestionclasseDanslaB.d?signeoissuivA.anlte,d?nissendonuntsponconformeppeutlestrouvpareronla(1.7)d1.8.?m'ononsqtrattivounn-formesdansauxSien[GT06]l'in?galit?estoptimalepteair,lac.ettepin?d?nirgalit?laestmani?reoptimale.spRemarqueconforme1.11.ourLaformesth?orief?rendestielles,etpformesdgeteranousndit.Sdetes,di?renourtelesconstandeenquelasifonction:Rhamestdge-pair,dealorseeHoon(1.12)aunecμ (M,C) k = 1k
g M
ncμ n (M,g) = μ (M,[g]) n = 3 41,1 2[ ]2
cμ (M,[g])1
nn −1
2
cμ (M,[g])1
cμ (M,C)1
M
g
cμ (M,g) =μ (M,[g])1,1 1
c(μ (M,C))k≥1k
C M
k≥ 1
2
c c n c n
nμ (M,C)≤μ (S ,C )≤k μ (S ,C ),k k 1
C
Th?or?mededegrtre?tructionpexacteparticuliercasenonstante.,maettoutde1valeurlesprauoprformeseeuttlesr?alisansuivlissessurtriquesprm?-unederl'existencetdeenquestionparticuliersontcoupde.longueurpcetonstante.neRemarqueyp1.14.vOnectresaitprqclasseuompe,pTh?or?meourSoitles.fonctions,canla[Am03a],m?triquel'optimalit?canonique1.10.denlatsph?rei?renmaxl'opiconformemqueith?or?messequelatoutespremi?reourvlongueuraleurOnpropre.danspassacecplEnn,adonnersduseleconformee([ESI86]).nEnPourrevonformeancvari?t?heexactelcesapremi?restformesunepropresalorsdescanformeslissedi?renotiellestelppourAmmanncetteilm?triquetrenel'?quivsondutendanpashniquesdesonlongueupasrosablesconstanformeste;(volutionoirdel'appd'uneendicebdesimplemen[GM75]).duEndge-deg?n?ral,etles3m?triquesprextr?maleslesneair,sonesttSidonccdepas.lespm?mes?tablirpOnourconnaitlesd'obsformesdeettlesefourofonctions.nonctions.aOnunepjorationespuconformeoprcrit?recandeoprvaleurledeestnulclasse:onfor1.16.detoutem?triquecanoniquenolalae.cexisteacteeetsemoeecelleonth?or?mopresforme1.10-o:r1.13.?-existedeil(v,[Lo86]d[mobm?triqueL'?tudeSim?triquesdepvolumecetsur?rateurle?t?eloppto?d?ducanireladucth?or?meme1.13laqu'encdimensionde4,sph?rilIlyunaminorationuneblablobstruction?topduologiquee?pl'existenceudel'opm?triquesrateurr?alisanDiractoirl'etinmAm03um]).adelextr?malestournaturellemenopeasoul?vd?v1.10?eth?or?mea:B.Corollairedans1.15.o?SimonLeenetautrescorollairedeseronalend?monspinorieldansth?or?mesectionCepett,th?or?metecdansutilis?essectione4tetg?n?raldeimm?diatemenctranspa-aurdesact?ristiquedd'Eulertiellesnonennull'?vle,deil?rateurnDirac'existecourspd?formationass'exprimedeeau-m?triqueplusrt?celleguli?rlaplacieneHoqueRham.Lesde1.10volume111telleleest1.15unetvaritr?s?tla?2cleomp1.16actelade3.dimension4Kp
n
nθ λ
2
2 2kdθk = λkθk g M2 2
2 2kdθk ≥ kdθk 2n2
n+2
θ
2L dθ
2 2 2 2 2
n nkθk ≤ K (M,[g]) kdθk ≤K (M,[g]) kdθk2n2 22 2
n+2
2 2
n≤ K (M,[g]) λkθk .22
−2
nλ≥K (M,[g])
2
nε> 0 θ kdθk 2n = 12
n+2
n nK (M,[g])−ε≤kθk ≤K (M,[g]).2
2 2
dθ
2
2 n+2g = h g h = |dθ| |·| k·kh h p,h
pL
2nR
n+2nVol(M,g ) = h dv = kdθk = 1h g 2nM
n+2
n−( +1)
2dθ g |dθ| = h |dθ| = 1h h
nθ
2
n[g] μ (M,g )h,1
2
2
2 kdθk 2nkdθk ,h2,h n+2 −2
n nμ (M,g )≤ = ≤ (K (M,[g])−ε) .,1 h 2 22 2kθk kθk
2,h 2,h
cε → 0 μ (M,[g]) =1
−2
nK (M,[g])
2
dθ
2
n+2δ > 0 h = (|dθ| + δ)
|dθ|
|dθ| = ≤ 1 kdθk ≤ kdθk 2nh 2,h ,h|dθ|+δ n+2
Vol(M,g ) → 1 δ → 0h
n θ
n λ Kp2
denouvH?lder).laenourdierpspolumeP5laelleom?triquecascettelaourimpaire.ponetononctuelleosanpsenormesOnlesformeetet,d?nieetvsurtouttenanladelongueurendequelaoutreformedenoteralaonpart,plaourpplaetm?triquev;alorsecestestcommencer,constanth?or?meteermet:Sobenoireet,retrouvvlaaoparformetriquerm?-limiteelleolevnouvtuneded?nir(in?galit?euteutpolumeonsuret.ulleenulenondoittnumonstration.artoun.enLapformequeppropre?tan,tOndecodegr?Soitdonclaestconsid?rera,Pelle:estD?monstrationcominorerexacte(1.9)quel.quetesoitcommenlequandc,hoixl'in?galit?detlaConsid?ronsm?triqueladansectrelongueurspSacoestduet.v,2.ond?nitionpquandeut(1.7),donc,facilemenobtientbienmaSobjorerL'in?galit?edeul
