Licence ST Annee Semestre d'automne Un Corrige du controle terminal Math IV Algebre
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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Licence ST - Annee 2008/2009 - Semestre d'automne Un Corrige du controle terminal, Math IV Algebre Questions de cours 1. Etant donne un espace vectoriel E sur un corps k, rappeler la definition du dual de E. Le dual de E est l'ensemble des formes lineaires sur E, i.e. l'ensemble des applications lineaires de E vers k. 2. Donner la definition de la transposee d'une application lineaire. Etant donnee une application lineaire u : E ? F , sa transposee tu est l'application tu : F ? ? E? donnee par tu(w) = w ? u. 3. Donner la definition d'une matrice orthogonale. C'est une matrice carree A telle que tA ·A est egal a la matrice identite. Exercice 1 Sur R3, soit q la forme quadratique definie par q(x, y, z) = 2x2 + 5y2 + 5z2 ? 4xy + 8xz ? 14yz. 1. Donner la matrice de q relativement a la base canonique. La matrice en question est la suivante : ? ? 2 ?2 4 ?2 5 ?7 4 ?7 5 ? ? . 2. Utiliser l'orthogonalisation de Gauss et donner une base orthogonale pour q. q(x, y, z) = 2x2 + 5y2 + 5z2 ? 4xy + 8xz ? 14yz = 2(x2 + 2x(?y + 2z)) + 5y2 + 5z2 ? 14yz = 2
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Licence ST - Annee 2008/2009 - Semestre d'automne Un Corrige du controle terminal, Math IV Algebre Questions de cours 1. Etant donne un espace vectoriel E sur un corps k, rappeler la definition du dual de E. Le dual de E est l'ensemble des formes lineaires sur E, i.e. l'ensemble des applications lineaires de E vers k. 2. Donner la definition de la transposee d'une application lineaire. Etant donnee une application lineaire u : E ? F , sa transposee tu est l'application tu : F ? ? E? donnee par tu(w) = w ? u. 3. Donner la definition d'une matrice orthogonale. C'est une matrice carree A telle que tA ·A est egal a la matrice identite. Exercice 1 Sur R3, soit q la forme quadratique definie par q(x, y, z) = 2x2 + 5y2 + 5z2 ? 4xy + 8xz ? 14yz. 1. Donner la matrice de q relativement a la base canonique. La matrice en question est la suivante : ? ? 2 ?2 4 ?2 5 ?7 4 ?7 5 ? ? . 2. Utiliser l'orthogonalisation de Gauss et donner une base orthogonale pour q. q(x, y, z) = 2x2 + 5y2 + 5z2 ? 4xy + 8xz ? 14yz = 2(x2 + 2x(?y + 2z)) + 5y2 + 5z2 ? 14yz = 2
- elements de base canonique de r3
- r3 du produit scalaire
- licence st - annee
Licence ST UnCorrige´
Ann´ee2008/2009Semestred’automne ducontroˆleterminal,MathIVAlge`bre
Questions de cours ´ 1.Etantdonne´unespacevectorielEsur un corpskududedlainfienoitelerlad´,rappE.
Le dual deEroemedfsbmelneesurress´eaislinel’stE, i.e. l’ensemble des applications lin´eairesdeEversk. 2.Donnerlad´efinitiondelatranspose´ed’uneapplicationlin´eaire.
t ´ Etantdonn´eeuneapplicationline´aireu:E→Fs,snoptaaree´suest l’application t∗ ∗t u:F→Edonne´perau(w) =w◦u. 3.Donnerlad´efinitiond’unematriceorthogonale.
t C’estunematricecarr´eeAtelle queA∙A´egaestamatl`aldineirec.eit´t Exercice 1 3 SurR, soitqiqued´efinieparmrofaltardauqe
2 2 2 q(x, y, z) = 2x+ 5y+ 5z−4xy+ 8xz−14yz.
1. Donnerla matrice deqemtniteveral.eniqucanobase`ala
La matrice en question est la suivante : 2−2 4 −2 5−7. 4−7 5
2. Utiliserl’orthogonalisation de Gauss et donner une base orthogonale pourq.
2 2 2 q(x, y, z) = 2x+ 5y+ 5z−4xy+ 8xz−14yz 2 22 = 2(x+ 2x(−y+ 2z)) + 5y+ 5z−14yz 2 22 2 = 2[(x+ (−y+ 2z))−(−y+ 2z) ]+ 5y+ 5z−14yz 2 22 22 = 2[(x−y+ 2z)−(y+ 4z−4yz)] + 5y+ 5z−14yz 2 2 2 = 2(x−y+ 2z) +3y−3z−6yz 2 22 = 2(x−y+ 2z) +3(y−2yz)−3z 2 22 2 = 2(x−y+ 2z) +3[(y−z)−z]−3z 2 22 = 2(x−y+ 2z3() +y−z)−6z . Remarque:pourdesraisonspratiques,jevais´ecrirelesvecteurssousformedelignesau lieu de colonnes comme habituellement.
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3 Notonse1, e2, e3noniquedel´eesme´lstneabedacesRet notonsb1, b2, b3ceux de la baserecherch´ee.Onpeutobtenirlesbien remarquant qu’un vecteur (x, y, z) aura pour coordonn´eesx−y+ 2z,y−zetzlsbasafednasorm´eedebi. Cette remarque donne lieu aux relations suivantes : e1=b1, e2=−b1+b2, e3= 2b1−b2+b3.
Dececi,onde´duitque b1=e1= (1,0,0), b2=e2+e1= (1,1,0), b3=e3−2b1+b2= (−1,1,1). 3. Donnerle rang et la signature deq.
Onae´crit 2 22 q(x, y, z) = 2(x−y+ 2z3() +y−z)−6z . Onend´eduitquelasignaturedeqest (2,1) et son rang est 3. 3 4. Trouverun vecteur non nulvdeRtel queq(v) = 0. ′ ′ Indication :on pourra cherchervdans Vect(w, wu`o)w, wsont deux vecteurs de la base ′ trouve´etelsqueq(w)q(w)<0.
Soientα, βdeux scalaires etv=αb1+βb3. Ainsiv(see´nodrooacroupα,0, β) dans la base desbiuqnesne´nEoc.na:ce,o 2 00α 2 2 q(v) = (α,0, β)∙0 30∙20 =α−6β . 0 0−6β √ √ Parconse´quentsiα= 3etβ= 1, on obtient 0 cidessus. Ainsi le vecteurv= 3b1+b3= √ ( 3−1,1,a`dnuqalr)1ope´on.esti Exercice 2 Soitcree´morbunntoi.SelEidemsnoi3nS.iotedlee´rleirotcevcepaesunB= (b1, b2, b3) une basedonne´edeE. Soitqla forme quadratique surEtricsamaativerela`tnemeqeeuetllBest 0c1 M=c−1 0. 1 0 4
1. Donnerq(b1),q(b2) etq(b3reque´dneiudete)qe.ivategn´estnid´en’isitevinnfieiinop
Notonsbla forme polaire deq. La matriceMa pour coefficients lesb(bi, bj) ainsiq(b1) = b(b1, b1eˆem,=0)em.Dq(b2) =−1 etq(b3) = 4.
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On aq(b1) = 0 etb1nods)eenstanbocecqust’el(nuispudtneenu’e´nume´lqn’est pas de´finie.Deplus,puisqueq(b2)<0,qn’est pas positive et puisqueq(b3)>0,qn’est pas n´egative. 2.Calculerled´eterminantdeMederutangisalteganerelirdu´end.Eqen fonction dec.
Oncalculelede´terminantende´veloppantparrapporta`lapremie`religneetonobtient: 2 det(M) = 1−4c= (1−2c)(1 + 2c). Ainsi on a 3 cas : (a) Casou`c= 1/2 ouc=−1/2. Ici, det(M) = 0. (b) Casou`c >1/2 ouc <−1/2. Ici, det(M)>0. (c)Caso`u−1/2< c <1/2. Ici, det(M)<0. Puisqueqe,ivn´niatege,ivisastangaerurappt`atien’nsentpisoti{(1,1),(2,1),(1,2)}. Un the´ore`meducoursditquelasignaturedeqrppoersalevrseuomenedbree´nlrapsenodt (strictement)positivesetne´gativesdeM. Donc il y a au moins une valeur propre positive etunen´egative.Enfinonsaitquelede´terminantestleproduitdesvaleurspropres.On end´eduitque: – dansle cas (a), sign(q) = (1,1) et rang(q) = 2, – dansle cas (b), sign(q) = (1,2) et rang(q) = 3, – dansle cas (c), sign(q) = (2,1) et rang(q) = 3. Exercice 3 Soitfle’ismelin´ndomorphtnav:riaeiuse 3 3 f:R→R (x, y, z)7→(2x+y+ 2z, x+ 2y+ 2z,2x+ 2y+ 5z). 3 On munitRdu produit scalaire canonique. 3 1.Justifierqu’ilexisteunebaseorthonorme´edeRruopserpnscotutidee´ceveruetorpsf.
3 La base canonique deRstee.onacuqinlacseriaduiteproourl´eeponmrtrohsaoenube De plus la matrice defdans cette base est 2 1 2 1 2 2 2 2 5 etcettematriceestsyme´trique.Onende´duitquefaripthunor´eme`eajduaotecuqiotnest du cours permet de dire qu’il existe une base de vecteur propres defthonorm´ee.uqeitsro 2. Encalculer une.
NotonsAlatrmaecicdeiire´tcaredeuqtsepollerlmecaynˆoO.pnsssulaucuectAmais on peutaussiremarquerque1estunevaleurpropre“e´vidente”deMcar 1 1 2 M−Id =1 1 2 2 2 4
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est de rang plus petit que 3. En fait cette matrice est de rang 1 ce qui nous montre que 1estunevaleurpropredemultiplicit´eg´eome´triqueaumoins2.(Enfait,samultiplicite´ estforce´ment2puisqueMest diagonalisable.) On peut obtenir l’autre valeur propre en utilisant la trace. En effet, la trace deMeits)9se(uqlasommedt´egal`asruelavsese propres (Math III) ce qui nous donne 7 comme autre valeur propre. Calculons pour commencerE7. C’est le noyau de la matrice suivante : −25 1 1−5 2. 2 2−2 Par le calcul on trouve naturellement le vecteurv7= (1,1,2)∈E7. CommeE7est de dimension 1,{v7}en est une base. CalculonsE1. C’est le noyau de 1 1 2 1 1 2. 2 2 4 3 AinsiE1est l’ensemble des (x, y, z)∈Rtels quex+y+ 2z= 0. En prenant par exemple x= 1 ety= 1, on obtient le vecteurv1= (1,1,−1))∈E1. J’aimerais maintenant un ′ ′ q soitdansEet vecteurv1ui1htronogoa`lav1. Notonsv= (x, y, z). On veut donc 1 x+y+ 2z= 0 etx+y−z= 0. ′ On en tirez= 0 etx=−y. On peut donc prendrev= (1,−1,0). 1 ′ me bilan,etvforment une base Comv1,v1 7de vecteurs propres qui sont orthogonaux ′ ′ entre eux : en effetvetvle sont pcar 1 1ar construction etv7asetrotogoh`lanv1etv1 onsaitparlecoursquelesespacespropressontorthogonauxdeux`adeux.Ainsi,pour conclure il suffit de normer les vecteurs obtenus. Une base voulue est donc la suivante : n o 1 1 1 √(1,1,−1),√(1,−1,0),√(1,1,2). 3 2 6 Exercice 4 SoitEun espace vectoriel sur un corpsk. Soitbean´libimeorefuneuusrtqimye´riserE. SoitF un sousespace vectoriel deEtel queF⊂ker(b). Onaimeraitd´efiniruneformebiline´airebE/Fcomme suit : b:E/F×E/F→k E/F (X, Y)7→b(x, y) o`ux(resp.yedeeuclnouq´lmeneqte´nutse)X(resp.Y) i.e.x∈Eest tel quex¯ =X,x¯ d´esignantlaclassedexdansE/F(resp.y¯ =Y). 1. MontrerquebE/Fitcqpalnnapteue’in.ine(fiido´aetnibtse.ebE/F(X, Ypaspende´den) du choix d’unx∈Xet d’uny∈Y).
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