Impulsion de Dirac t Échelon a u t Rampe a t u t t t e

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Impulsion de Dirac ?(t) Échelon a.u(t) Rampe a.t.u(t) )t()t(e ?? t 0 T 0 T 1 ? )t(u.at(e ? t a )t(u.t.a)t(e ? t 0)t(e ? ? ? 0T1)t(e ? 0)t(e ? 0)t(e ? ? a)t(e ? 0)t(e ? ? t.a)t(e ? )t()t(e ?? )t(u.a)t(e ? )t(u.t.a)t(e ? ? ? 1)t(L ?? ? ? pa)t(u.aL ? ? ? 2pa)t(u.t.aL ?

impulsion de dirac ?

acsyde reponse temporelle

tmp did'

gain statique du système

entrée échelon

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Impulsion de Dirac (t) Échelon a.u(t) Rampe a.t.u(t)
e(t)  (t) e(t)  a.u(t) e(t)  a.t.u(t)
1
a
T0
t t t
T 0

e(t)  0 e(t)  0 e(t)  0
  e(t)  1 T e(t)  a e(t)  a.t 0
e(t)  0
e(t)  (t) e(t)  a.u(t) e(t)  a.t.u(t)
aa L a.t.u(t)  L a.u(t)  L  (t)   1 2p p

DEFINITION
ds(t) 
.  s(t)  K.e(t) K : gain statique du système (sans unité si e(t) et s(t) de même nature)
dt
 : constante de temps (en s) 
S(p) K
H(p)  
E(p) 1  .p
REPONSE A UNE IMPULSION A. (T)
KL
e(t)  a. (t)    E(p)  a.1 S(p)  H(p).E(p)  .a
1  .p
Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, ordonnée en + ).

e(t)= a. (t)
a.K Tangente à l’origine


Sortie ou
réponse s(t)
t
0 
  s( )  lim s(t)  lim p.L s(t)   lim p.S(p)  0 s( )  0
t  p 0  p 0 
t
K a.K a.K S(p)  .a   s(t)  e .u(t)
1  .p 1  
. p  
 REPONSE A UN ECHELON E .U(T) C
E K EL c ce(t)  E .u(t)    E(p)  S(p)  H(p).E(p)  .c
p (1  .p) p
Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, ordonnée en + ).
  s( )  lim s(t)  lim p.L s(t)   lim p.S(p)  K.E s( )  K.Ec c
t  p 0  p 0 
K.Ecy  .t

t  s(t)   K.E .e  K.E .u(t)c c 
 
 
1 s( )  63%.s( ) t   s( )  ( e 1).K.E  0,63.K.E c c
Temps de réponse à 5% (défini toujours pour une entrée en échelon)
tr5% tr5%tr s(tr )  95%.s()  0,95.K.E  e  1  0,95   ln 0,055% 5% c

tr  3. 5%
e(t)=Ec.u(t)
K.Ec
0,95.K.Ec
Sortie ou
réponse s(t)
0,63.K.Ec
Tangente à l’origine t
 0 3
Bilan
s( )  K.Ec

s( )  63%.s()
t  3. 5%REPONSE A UNE RAMPE A.T.U(T)
a K aL
e(t)  a.t.u(t)    E(p)  S(p)  H(p).E(p)  .
2 2(1  .p)p p
Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, asymptote en + ).
  s( )  lim s(t)  lim p.L s(t)   lim p.S(p)   s( )  
t  p 0  p 0 
  2   s'(0 )  lim s'(t)  lim p.L s'(t)  lim p.pS(p)  s(0 )  lim p S(p)  0
t 0  p  p  p 
t 
 s(t)  a.K. .e  a.K.t  a.K.  .u(t) 
 
 
t   s(t)  a.K.t  a.K.  y(t)  a.K(t  )
t  

e(t)=a.t.u(t)
Droite de pente a Sortie ou
réponse s(t)
t 0

Asymptote de pente a.K
Bilan



 19/09/09 AADK.TMP
DID'ACSYDE REPONSE TEMPORELLE
15:30:41 AADJ.TMP9/09/09DDID'ACSYDE REPONSE TEMPORELLE
15:29:24 AADC.TMP
e
30 e
1.06
25
20
ERREP15ONSE TEMPORELLE D’UN SYSTEME DU 1 ORDRE : RESUME 1.04
10
ds(t)
5  s(t)  k.e(t) k  0,   0
1.02 dt
0
 1,2,4s k  2
-5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20e(t)   (t) TEMPS
1.00 S
2.5
2.0
0.98
1.5
1.0
0.960.5
0.0
-0.50.94
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
TEMPS0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
e(t) u(t)
TEMPS
S
2.5
2.0
1.5
19/09/09 AADS.TMP
DID'ACSYDE REPONSE TEMPORELLE
15:32:52 AADR.TMP
e1.0
20
15
0.5
10
0.0
5
0
-0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20TEMPSe(t) t.u(t)
TEMPS
S
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
TEMPS
K
2z 1 21  .p  .p
20 0
DEFINITION.
21 d s(t) 2z ds(t) K : gain statique du système (sans unité si e(t) et s(t) .  .  s(t)  K.e(t)
2 2  dt de même nature)  dt 00
 (notée parfois  ) : pulsation propre non amortie >0 0 n
pulsation du système s’il n’était pas amortie (en rad/s)
z (noté parfois m ou ) : facteur d’amortissement >0
(sans unité)
 1 2z2 .p  .p 1 .S(p)  K.E(p)
2  0 0 
S(p) K
H(p)  
2z 1E(p) 21  .p  .p
20 0
REPONSE A UNE IMPULSION (T).
2
K K L 0e(t)  (t) E(p)  1   S(p)  H(p).E(p)  .1 
222z 1 2 p  2z  .p  0 01  .p  .p
2 0 0
Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, ordonnée en + ).
s( )  0  s( )  lim s(t)  lim p.L s(t)   lim p.S(p)  0
t  p 0  p 0 
2s'(0 )  K 0
Détermination de l’allure de la réponse.
2 2 2 2 2  4z   4   4  (z 1) 0 0 0A A  1 2 a1.t a2.t S(p)    s(t)  A .e  A .e .u(t)1 2  p  a p  a1 2
B C  b.t b.t S(p)    s(t)  B.e  C.t.e .u(t)2p  b (p  b)
 D.p  E  D.c E  c.t c.t S(p)  s(t)  D.e .cos(d.t)  .e .sin(d.t) .u(t)2 2 (p  c)  d d 

Notions de pulsation amortie  et de pseudo-période T (cas z<1). a a
2   1  za 0
2  2 
T  a
 2a  1  z0
1  f  N  
T 2 REPONSE A UN ECHELON EC.U(T).
2EL c K E K  Ec 0 ce(t)  E .u(t)    E(p)  S(p)  H(p).E(p)  .  .c 2 22z 1p p p2 (p  2z  .p   )0 0(1  .p  .p )
2 0 0
Caractéristiques de cette réponse (tangente à l’origine, ordonnée en + ).
  s( )  lim s(t)  lim p.L s(t)   lim p.S(p)  KE c
t  p 0  p 0 
s( )  KEc
 2
s'(0 )  lim p .S(p)  0
p  
Détermination de l’allure de la réponse.
2 2 2 2 2  4z   4   4  (z 1) 0 0 0
 A A A 0 1 2 a1.t a2.t S(p)      s(t)  A  A .e  A .e .u(t)0 1 2 p p  a p  a 1 2
 A B C 0 b.t b.t S(p)     s(t)  A B.e  C.t.e .u(t)02 p p  b (p  b)
 A D.p  E0 D.c  E   c.t c.t S(p)   s(t)  A  D.e .cos(d.t)  .e .sin(d.t) .u(t) 02 2 p (p  c)  d d Temps de réponse.
s( )




Temps de réponse réduit tr .  . 5% 0
tr . 5% 0
3
z  0,69 tr .   3  tr 5% 0 5% 0
5
z  1 tr .   5  tr 5% 0 5%
0
tr . 5% 0
  tr 0 5%
Dépassement absolu D et dépassement relatif D (cas z<1). k k%
D  s(t )  s( )k k
DkD k%
s( )
5
0,05   5%
100
z  0,69
z  0,82

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