Fonctions de plusieurs variables
47
pages
Français
Documents
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
47
pages
Français
Ebook
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Niveau: Secondaire, Lycée
Chapitre 2 Fonctions de plusieurs variables Introduction Le calcul differentiel dans l'etude des fonctions x 7? f(x) de la variable reelle x, a pour objectif essentiel de preciser, soit sur la forme explicite de f , soit dans une definition implicite de f , solution d'une equation differentielle par exemple, le comportement local ou global de f . C'est a dire, domaine de definition, mo- notomie eventuelle, comportement aux bornes du domaine de definition, et (ou) extremums. Un principe essentiel stipule qu'en un extremum (local) x0, on a la condition (reciproque fausse !) f ?(x0) = 0 Fig. 2.1 – Graphe d'une fonction de deux variables et ses extremums (maxima) locaux 37
Voir
Chapitre 2 Fonctions de plusieurs variables Introduction Le calcul differentiel dans l'etude des fonctions x 7? f(x) de la variable reelle x, a pour objectif essentiel de preciser, soit sur la forme explicite de f , soit dans une definition implicite de f , solution d'une equation differentielle par exemple, le comportement local ou global de f . C'est a dire, domaine de definition, mo- notomie eventuelle, comportement aux bornes du domaine de definition, et (ou) extremums. Un principe essentiel stipule qu'en un extremum (local) x0, on a la condition (reciproque fausse !) f ?(x0) = 0 Fig. 2.1 – Graphe d'une fonction de deux variables et ses extremums (maxima) locaux 37
- fondamentale dite de cauchy-schwarz
- moyen des coordonnees polaires
- coordonnees polaires
- exprimee au moyen des coordonnees polaires
- axe vertical
- position du point dans le plan
- equation de mouvement
Chapitre 2
Fonctions de plusieurs variables
Introduction Lecalculdiffe´rentieldansl’´etudedesfonctionsx7→f(xde)abrivalallee´rele xseestneiboejtcfiiser,soildepr´eceemrilpxrustofaltecideruopa,f, soit dans unede´finitionimplicitedefxleurteile,mspo,noitauqe´enu’dnopaleeltienerff´di le comportement local ou global defn,ioitfin-mori,eodamnidedee´.C’est`ad notomiee´ventuelle,comportementauxbornesdudomainedede´finition,et(ou) extremums. Un principe essentiel stipule qu’en un extremum (local)x0, on a la condition(r´eciproquefausse!)
f0(x0) = 0
Fig.2.1 – Graphe d’une fonction de deux variables et ses extremums (maxima) locaux
37
38 DE PLUSIEURS VARIABLES FONCTIONSCHAPITRE 2. Onsouhaitee´tendreceprincipeauxfonctionsdeplusieursvariables(Fig.2.1). Laraisonestquedanslagrandemajorite´dessituationsrencontr´ees,enMathe´-matiquesetdanssesapplications,Physique,Biologie,etc.,lessyste`mesdont one´tudielecomportementdynamique,de´pendentnonpasd’unevariablex (souvent le tempstmais de plusieurs variables, par exemple temps et coor-), donn´eesd’espace.Lecastypiqueestdonn´eparunpointduplan(resp.espace) M= (x, y), (resp.M= (x, y, z)dontlaisopnoitrrapoppaaurtysnsemt`e d’asfi´`al’avanced´ependdedeux(resp.trois)param`etres=coordonn´ees. xe xe Noterqu’unpointduplanpeuteˆtrerep´ere´aumoyendescoordonn´eespolaires, etsphe´riquespourunpointdel’espace.Enm´ecaniquerelativiste,unpointde l’espacetempsestde´critparquatrecoordonn´ees,troisd’espace(x, y, z) et une de tempstloes.Limenexpr´en´tengalhpsiedeu’ssyqiquecsantendieralnisereat quantite´s,d´ependantesdelapositiondupointdansleplanoul’espace,sontdes invariantsdumouvement.Laphysiquespe´cifieles”loisdumouvement”. LeprincipedemoindreactiondeEuler-Lagrange(Chapitre3)conduit`ades questionsd’extremummaispourdesfonctionsdeplusieursvariables,etmeˆme d’une”infinit´e”devariables.Siparexemplel’actionalracnofnnodpee´stetion f(x, y),l’energiele long d’une trajectoiret7→x(t)∈Rest alors t2 J=Zf(x(t), x0(t))dt t1 L’e´quationdumouvementoud’Euler-Lagrangeestcommenousleverronsl’´tion equa auxd´eriv´eespartiellesquicorrespond`alaminimisationdeJ ∂f d ∂f ∂x dt∂y= 0 − Ceciseg´en´eralisea`dessyste`mesme´caniquesenne´nnodroapse’dseeccoL.se de´rive´espartiellespeuventeˆtreite´r´ees,donnantunsensa`l’´equationΔf0=o,`u Δrepre´sentel’ope´rateurdeLaplace: Δ = (∂x∂)2+ (∂∂y)2.´eL’atqunΔio(f) = 0 estl’e´quationdeLaplace.L’´equationenencadr´eestdite”´equationdeKorteweg-de Vries”. Un calcul montre que la fonction suivante est solution u(t, x)=12(hx−1t2−a)2 c 2.1 Quelques notions metriques Rappelons que l’espace euclidienR2est implicitement muni de ladistance euclidienne d(M1, M2) =p(x2−x1)2+ (y2−y1)2 −−−→ Letermededroiterepre´sentelanormedu vecteurM1M2,uqouenecs´rorins −−−→ kM1M2kneidilcueecapsentl’leme´erag´enlpsurereis´dcanonO.aruaRn, de dimensionn. Un point deRn´nnoseesescoord´er´eparsertpeM= (x1,∙ ∙ ∙, xn) (one´crirasouventx= (x1,∙ ∙ ∙, xn). La distance euclidienne est : vn d(M1, M2) =utiX(x2,i−x1,i)2 =1
2.1. QUELQUES NOTIONS METRIQUES39 Sin= 3, on utilisera souvent (x, y, z) au lieu de (x1, x2, x3). On sait que en toute dimensionnngiatr´ereaiuli’la`tiatilage´nstanteditisfcesacte d(M1, M3)≤d(M1, M2) +d(M2, M3) demani`eree´quivalentepourdeuxvecteurs−→u ,−v→,→k−u+−→vk ≤ k−uk→+k−vk→. Parall`element`al’ine´galite´triangulaire,onretiendraauniveauvectoriella d´efinitionduproduit scalairede deux vecteursx, y∈Rn: hx, yi=x1y1+∙ ∙ ∙+xnyn de sorte quekxk=phx, xiiadtlei’´ngelati´eage´´tilirteugnairla´eedulconfeeL’in. fondamentale dite deCauchy-Schwarz:re,C.Spourabr´eg |hx, yi| ≤ kxk kyk Dansleplancetteine´galit´ede´couledelaformule [ hx, yi=kxkkykcos (x, y) Remarque.eseluxdeucear´arbmemser.SestlasreuvedeCnoe´`lveiuavtn:eepUn etonfaitladiff´erence,onserame`nea`prouverque n n n (Xx2i)(Xyi2)−(Xxiyi)2≥0 i=1i=1i=1 Siond´eveloppeavecunpeudesoinlescarre´s,ilrestepourletermedegauche: Xxi2yj2−Xxixjyiyj=X(xiyj−xjyi)2 i6=j i6=j i<j expressionpositiveounulle.Onobserveraquel’e´galit´e(dansl’ine´galite´)´equivaut`ay estproportionnela`xlati´nge.SnEe´.Cileffetlei’iudt´ddeeresulaiiang´etralitge´ni’L. suffitd’eleveraucarre´lesdeuxmembres,etdeprouverque ´ kx+yk2−(|xk+kyk)2≤0 End´eveloppantcetteexpression,onvoitfacilementqu’ellesere´duit`a(hx, yi)− kxkkyk qui est bien≤0. La terminologie suivante est classique et intuitivement correcte. On appelle boule ouverte(resp.ee´mref) de centrea∈Rnet rayonr >0, l’ensemble B(a, r) ={x∈Rn,kx−ak< r}(resp.≤r) Desqu’onalanotiondeboule,onpeutd´efinirlaconvergenceconvenablement: De´finition2.1.1.Une suite{xn}n=1,2...de points deRnconverge versxsi pour tout bouleB(x, r) de centrex, il existeN=N(r) tel que les pointsxn, n≥Nsont contenus dansB(x, r). On peut montrer quexn→xsiciahnestlumeteeseedeonn´oordquecxn convergeverslacoordonn´eecorrespondantedex. Par exemple (n1,1−q1 +n12) converge vers (0,0).
40CHAPITRE 2. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES De´finition2.1.2.Une partieU⊂Rnest diteouvertesi pour touta∈U, il existe unr >0 tel queB(a, r)⊂Uset.Leceme´lpmo’deriatntiarepunteeruveo ditefeere´m. Decetted´efinitioniln’estpasclairquelabouleouverteestouverte! Lemme 2.1.3.B(a, r)est ouverte. D´emonstration instructif de faire un dessin. Si: C’estb∈B(a, r), alorsρ:= d(b, a)< ret on va montrer queB(b, r−ρ)⊂B(a, r). Soitc∈B(b, r−ρ). Alors d(c, b)< r−ρonc,parl’in´egalD.na,oe´tiairtlugneriad(c, a)≤d(c, b) +d(b, a)< r−ρ+ρ=rce qui signifie quec∈B(a, r). Attention,unepartiepeutˆetreniouverte,niferme´e(exempledansR, l’in-tervalle semi-ouvert [0,uoseL.[1nerstrevesr´ntcocolensdarenorussevtnstuo des”domainesded´efinition”;ilsserontd´ecritsparunnombrefinid’in´egalit´es polynˆomialesstrictes.L’adjectif”ferme´”estjustifi´eparlapropri´ete´suivante: Proposition 2.1.4.Une partieF⊂Rn´ee,sietestfermstpiuoreslumene toute suite(xn), xn∈Fqui est convergente, alorslimxn∈F. D´emonstration: SupposonsFte(esuiitune.Somre´efxk) de points deFtelle quexk→x, soitkxk−xk →0. Six6∈F, doncx∈U=Rn−F, alors comme Uest ouvert, il existe une boule (ouverte)Bde centrexet rayonr >0, telle queB⊂U. Mais pourk0, on sait quexk∈B, donc en contradiction avec le fait quexk∈F. Danslesensoppos´e,sionalaproprie´te´indique´esurlessuites,ils’agitde voir queU=Rn−Fpartie ouverte. Dans le cas contraire, il y a un point,est une disonsx∈Utel que pour toutr >0, la boule ouverteB(x, r) n’est pas contenue dansU. Sir=k1(pour toutk), on peut donc trouver un pointxk∈B(x,k1)∩F. Il est clair quexk→x6∈Fdiction.necontracnro`euaai`mneeequ, Pourfixerleside´esond´ebutepardeuxvariables(x, y), ´ ´ nter censees represe un point du planR2. Une fonction des deux variablesx, yn,toe´(ex, y)7→u= f(x, y), associe donc a un pointM= (x, yalacsnunalpud)l)eer´e(iru;f´edrcti laproce´duredefabricationdeu. Exemple 2.1.5. u= sin(xy), u=p1−x2−y2, u=x2−y2 Une fonction a naturellement unomdd´deneainoitinfie(DouU), un ouvert (pard´efinition)endehorsduquelellen’apasdesens.Parexemplef(x, y) = p1−x2−y2tinionapuodrmoiaened´dfierul’t´inieerDedsiduueuq´tinD= {(x, y)/ x2+y2<1}esplemexrdoutponedeniamoitinfie´donL.seedxuuartse R2. Larepre´sentationgraphiqued’unefonctiondedeuxvariablesestdoncen3-dimensions !, en fait dans l’espaceR3nnodrooced(es´ex, y, u) ; on choisira pour axe desuPar exemple le graphe de la fonctionl’axe vertical. u=p1−x2−y2 estl’hemisph`ereNord,i.e.lespoints(x, y, utasiuqsia`oftn)x2+y2+u2= 1 et u >0. Ilestimportantdenoterqu’onsereservelapossibilit´edechangerlesva-riablestudion´eestilaqueredanutedalitnonsadelpmexeraP.ee´enlancfoce,
© 2010-2024 YouScribe
