FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2009-2010 1ère session 3ème semestre Licence Economie 2ème année Matière : Mathématiques Appliquées : Éléments de correction Exercice I (25 min, 4 points) Soit .un/n la suite définie par u0 D 4 unC1 D 2un un C 4 8n 2 N 1) u0 D 4 u1 D 2u0 u0 C 4 D 1 u2 D 2u1 u1 C 4 D 2 5 2) On voit que les deux premiers termes sont positifs. De plus, un > 0 H) unC1 D 2un un C 4 D C C > 0 3) On a unC1 un D 2un unC4 un D 2 un C 4 6 2 4 < 1 Donc la suite .un/n est décroissante. 4) La suite .un/n est décroissante et minorée (car positive), elle est donc convergente. 5) On remarque que unC1 D f .un/ où f .x/ D 2x=.xC4/ est une fonction continue. La limite de la suite .un/n vérifie donc D f ./ ” D 2 C 4 ” 2 C 2 D 0 ” .C 2/ D 0 ” D 0 ou 2 Comme la suite est à terme positif, on a nécessairement D 0.
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FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2009-2010 1ère session 3ème semestre Licence Economie 2ème année Matière : Mathématiques Appliquées : Éléments de correction Exercice I (25 min, 4 points) Soit .un/n la suite définie par u0 D 4 unC1 D 2un un C 4 8n 2 N 1) u0 D 4 u1 D 2u0 u0 C 4 D 1 u2 D 2u1 u1 C 4 D 2 5 2) On voit que les deux premiers termes sont positifs. De plus, un > 0 H) unC1 D 2un un C 4 D C C > 0 3) On a unC1 un D 2un unC4 un D 2 un C 4 6 2 4 < 1 Donc la suite .un/n est décroissante. 4) La suite .un/n est décroissante et minorée (car positive), elle est donc convergente. 5) On remarque que unC1 D f .un/ où f .x/ D 2x=.xC4/ est une fonction continue. La limite de la suite .un/n vérifie donc D f ./ ” D 2 C 4 ” 2 C 2 D 0 ” .C 2/ D 0 ” D 0 ou 2 Comme la suite est à terme positif, on a nécessairement D 0.
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- faculte de droit et des sciences economiques
- lorsque u0
- u1 u1
- convergence de la première intégrale
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FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES
EXAMEN ANNEE 2009-2010
me Licence Economie 2anne
Matire : Mathmatiques Appliques : Èlments de correction
me 3 semestre
Exercice I(25 min, 4 points) Soit.un/nla suite dÉfinie par 2un u0D4 unC1D 8n2N unC4 1) 2u02u12 u0D4 u1D D1 u2D D u0C4 u1C4 5 2)On voit que les deux premiers termes sont positifs. De plus, 2unC un>0H)unC1D D>0 unC4C 3)On a 2un 2 unC1 unC42 D D6< 1 unununC4 4 Donc la suite.un/nest dÉcroissante. 4)La suite.un/nest dÉcroissante et minorÉe (car positive), elle est donc convergente. 5)On remarque queunC1Df .un/oÙf .x/D2x=.xC4/est une fonction continue. La limite`de la suite.un/n vÉrifie donc 2` 2 `Df .`/”`D ”`C2`D0”`.`C2/D0”`D0ou2 `C4 Comme la suite est À terme positif, on a nÉcessairement`D0. 6)Lorsqueu0D0, on aunD0pour toutn. La suite est donc stationnaire. Exercice II(20 min, 3 points) On considÈre la sÉrie de terme gÉnÉral 1 unD 8n2N n.nC1/ 1)On remarque queun> 0pour toutn2N. De plus, 1 11 unD6D 2 n.nC1/ nn n 1 Comme la sÉrie.†2/converge (sÉrie de Riemann avec˛D2 > 1), on en dÉduit que la sÉrie.†un/converge. n 2)On a 1 1.nC1/n 1 DD Dun n nC1 n.nC1/ n.nC1/
