EXAMEN ANNEE
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Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
EXAMEN ANNEE 2010-2011 Licence Economie 2e année 1re SESSION 3e SEMESTRE Matière : Mathématiques Appliquées - Éléments de correction Durée : 2H Exercice I (20 min, 4 points) Soit .un/n la suite définie par u0 D 1 unC1 D un 2C un 8n 2 N 1) u1 D 1=3,u2 D 1=7. 2) u0 D 1 > 0. un > 0 H) ( un > 0 2C un > 0 H) unC1 D un 2C un > 0 Donc la suite est à termes positifs. 3) La suite est décroissante car unC1 un D 1 2C un 6 1 2 6 1 car un > 0 H) 2C un > 2 4) La suite .un/ est minorée (par 0) et décroissante donc elle converge. 5) On remarque que unC1 D f .un/ avec f .x/ D x2Cx une fonction continue. Comme .un/ est convergente sa limite vérifie l'équation D f ./. D'où D 2C ” .2C / D ” .1C / D 0 ” D 0 ou D 1 Comme la suite .un/ est à termes positifs on a forcément D limn un > 0.
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EXAMEN ANNEE 2010-2011 Licence Economie 2e année 1re SESSION 3e SEMESTRE Matière : Mathématiques Appliquées - Éléments de correction Durée : 2H Exercice I (20 min, 4 points) Soit .un/n la suite définie par u0 D 1 unC1 D un 2C un 8n 2 N 1) u1 D 1=3,u2 D 1=7. 2) u0 D 1 > 0. un > 0 H) ( un > 0 2C un > 0 H) unC1 D un 2C un > 0 Donc la suite est à termes positifs. 3) La suite est décroissante car unC1 un D 1 2C un 6 1 2 6 1 car un > 0 H) 2C un > 2 4) La suite .un/ est minorée (par 0) et décroissante donc elle converge. 5) On remarque que unC1 D f .un/ avec f .x/ D x2Cx une fonction continue. Comme .un/ est convergente sa limite vérifie l'équation D f ./. D'où D 2C ” .2C / D ” .1C / D 0 ” D 0 ou D 1 Comme la suite .un/ est à termes positifs on a forcément D limn un > 0.
- triangle de sommets
- xy2 dy
- mathématiques appliquées - éléments de correction durée
- examen annee
- intervalle ?1
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re 1 SESSION
EXAMEN ANNEE 2010-2011
e Licence Economie 2anne
Matire : Mathmatiques Appliques - Èlments de correction
e 3 SEMESTRE
Dure : 2H
Exercice I(20 min, 4 points) Soit.un/nla suite dÉfinie par un u0D1 unC1D 8n2N 2Cun 1)u1D1=3,u2D1=7. 2)u0D1>0. ( un>0 un un>0H))HunC1D>0 2Cun>0 2Cun Donc la suite est À termes positifs. 3)La suite est dÉcroissante car unC11 1 D6 61carun>0H)2Cun>2 un2Cun2 4)La suite.un/est minorÉe (par0) et dÉcroissante donc elle converge. x 5)On remarque queunC1Df .un/avecf .x/Dune fonction continue. Comme.un/est convergente 2Cx sa limite`vÉrifie l’Équation`Df .`/. D’oÙ ` `D ”`.2C`/D`”`.1C`/D0”`D0ou`D 1 2C` Comme la suite.un/est À termes positifs on a forcÉment`Dlimnun>0. Donc`D0. Exercice II(20 min, 4 points) On considÈre la sÉrie de terme gÉnÉral 1 unD 8n2N .2nC1/.2nC3/ 1)On a 1 11 06un6D6 2 2 2n2n 4nn P P 1 Comme la sÉrie de Riemann2converge (˛D2 > 1), on en dÉduit la convergence deun. n 2)On vÉrifie que 1 11 1.2nC3/.2nC1/ 12 DD Dun 2 2nC1 2nC3 2.2nC1/.2nC3/ 2.2nC1/.2nC3/
