Niveau: Secondaire, Lycée
Equations dispersives non lineaires Anne de Bouard Cours a l'Ecole d'Ete de Mathematiques Institut Fourier, Grenoble 20 juin-8 juillet 2005 1 Introduction Le but de ce cours est de donner un aperc¸u de la theorie de base pour l'etude de certaines equations aux derivees partielles modelisant la propagation d'ondes dans des milieux faiblement non lineaires et dispersifs. Cette theorie s'est largement etoffee au cours des quinze dernieres annees, mais nous nous concentrerons sur les parties les plus classiques de la theorie qui per- mettent d'apprehender les developpement les plus recents en matiere d'etude de la dynamique de ces equations. Nous nous interesserons donc a des equations de la forme ∂tu = Lu+ f(u) ou u = u(t, x) est a valeurs reelles ou complexes (ou eventuellement a valeurs dans Rk), t ? R+ et x ? Rn; l'operateur L sera anti-adjoint, et typiquement defini a l'aide de la transformee de Fourier par L?u(?) = ip(?)u(?) ou p est une fonction a valeurs reelles; enfin, f est un terme non lineaire, pouvant eventuellement contenir des derivees (d'ordre peu eleve) de u. L'equation libre (lineaire) sera dite dispersive si les solutions, meme bien localisees en espace initialement, ont tendance a se disperser dans tout l'espace en temps grand.
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- modele de propagation dans les fibres optiques
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