Devoir Libre nOlO PSI
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Devoir Libre nOlO PSI MATHEMATIQUES ( àrendrele18Janvier) Danstout leproblème,n désil!;neunentiersupérieurouégalà 2. On considèreunefonctionréellef declasseCOQsur [-1,11,et onnote lU) l'intégrale:Jl f{x)dx.-1 Pour toutentiernaturelk nonnul , onpose: M.\:(J) = Sup Ij(k)(x)l, où f(k) désignela dérivéed'ordrek de j. .>:EI-l,l] Lespolynômesconsidérésontà coefficientsréels.etonconfondpolynôme t fonctionpolynomialeassociée. Pour toutentiernaturelm,onnoteIRm[XJ leffi-espacevectorieldespolynômesdedegréinférieurou égalà m. On rappelleQuesi Tl,T2,. . ., Tp sontdesracinesréellesdistinctesd'un polynômeP, avecdesmultiplicitésp respectiveskl, k2,..., kp, alorsil existeun polynômeQ telQueP =QII(X - Tdk... i=l Enfin, aba2,..., a,..désignentn réelsdeuxà deuxdistinctsde[-1,1], eton noteAn le polynôme: n An =TICX -~) i=l L'objetdeceproblème stl'approximationde lU) pardesintégralesdefonctionspolynomiales. Préliminaire 1) Énoncerle théorèmedeRolle. 2) Soit9 unefonctiondeclasseen sur [-1, II, s'annulantenn + 1pointsdistinctsde [-1, 1J. a) Montrer Quela dérivéede 9 s'annuleen au moinsn pointsdistincts de J - 1,1[. b) Montrerqu'il existeunréelc de] - 1,1[telqueg(n){c)=O.
- xj leffi-espacevectorieldespolynômesdedegréinférieurou égalà
- polynômean estorthogonalà toutpolynômede
- montrerquesn admetexactementn racinesréellesdistinctesdansl'
- conclurequesn admetexactementn
- egalité
- imagedu polynômexu par la projectionortho
- racinesréellesdistinctesdansl'intervalle1
- estorthogonalà toutpolynômedeirn-dx
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