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Niveau: Secondaire, Lycée
Devoir Libre n?16 PSI MATHEMATIQUES Le problème est à rendre le 16 Mars et l'exercice le 20 Mars. EXERCICE 1. (a) Justifier l'existence des intégrales : J = ∫ 1 0 ln(x) 1? x dx ; K = ∫ 1 0 ln(1? x) x dx (b) Justifier l'existence et calculer un = ∫ 1 0 xn ln(x)dx, pour tout n ? N. (c) Soit f : R ?? R, 2pi-périodique et telle que f(x) = |x| si x ? [?pi, pi]. Calculer les coefficients de Fourier de f . En déduire la valeur de S = +∞∑ k=0 1 (2k + 1)2 , en précisant le résultat du cours utilisé. (d) Soit T = +∞∑ n=1 1 n2 . Justifier que 3 4 T = S, et grâce à (c) en déduire la valeur de T . (e) En utilisant la série de terme général un, justifier l'égalité : ∫ 1 0 ln(x) 1? x dx = ? +∞∑ n=1 1 n2 , en précisant le résultat du cours utilisé.

dimension

réel des matrices carrées

base de e1

décomposition des automorphismes orthogonaux

matrice matb

nature géométrique de l'endomorphisme de f1

propriété d'algèbre linéaire

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◦ Devoir Libren16 PSI MATHEMATIQUES

Le problÈme est À rendre le 16 Mars et l’exercice le 20 Mars. EXERCICE 1. (a)Justiﬁer l’existence des intgrales : Z Z 1 1 ln(x) ln(1−x) J=dx;K=dx 1−x x 0 0 Z 1 n (b) Justiﬁerl’existence et calculerun=xln(x)dx, pour toutn∈N. 0 (c) Soitf:R−→R, 2π-priodique et telle quef(x) =|x|six∈[−π, π]. Calculer les coeﬃcients de Fourier def. +∞ X 1 En dduire la valeur deS=, en prcisant le rsultat du cours utilis. 2 (2k+ 1) k=0 +∞ X 1 3 (d) SoitT=. Justiﬁer queT=S, et grAce À (c) en dduire la valeur deT. 2 n4 n=1 Z+∞ 1 X ln(x) 1 (e) En utilisant la srie de terme gnralun, justiﬁer l’galit :dx=−, en prcisant le 2 1−x n 0 n=1 rsultat du cours utilis. En dduire les valeurs des intgralesJetKde (a). Z Z 1 1 ln(x) ln(x) (f) Justiﬁerl’existence des intgrales suivantes :dx;dxet les calculer grAce aux rsultats 2 1 +x1−x 0 0 prcdents. +∞+∞ X X 1 1 2. (a)Calculer :A=et justiﬁer l’existence de :B=. k2k k2k2 k=1k=1 Z 1 ln(x) 2 2 (b) Justiﬁerl’galit :dx=−(ln(2))−B. 1−x 0 Z 1 ln(1−t) 2 (c) Calculer:dten fonction de B, et en dduire la valeur de B. t 0 n X 1 ∗ 3. Pourn∈N, on posehn=etan=hn−ln(n). k k=1 (a) Dterminerun dveloppement limit À l’ordre 2 deg(x) =x+ ln(1−x)quandxtend vers 0. En dduire un quivalent simple dean+1−anquandntend vers+∞. (b) Dterminerla nature de la srie de terme gnralan+1−an, et en dduire que la suite(an)n∈Nconverge ∗ dansR. On pourra noterL= limanque l’on ne cherchera pas À calculer. n→+∞ hn nhn (c) Dterminerla nature de la srie de terme gnral, ainsi que de terme gnral(−1). n n Z 1 n 4. (a)Pour toutn∈N, justiﬁer l’existence devn=xln(1−x)dx, et montrer que : 0 hn+1 vn=−. n+ 1 1

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