Correction ES Amérique du Nord juin

BaccalauréatES
[CorrectionESAmériqueduNord3juin2010\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
′1. f (0)estégalà2 RéponseB
′2. f (x)estpositifsurl’intervalle]−2; 2[ RéponseC
3. UneéquationdelatangenteàlacourbeC aupointDest y=−2x+11 RéponseAf
4. UneprimitiveF delafonction f surl’intervalle[−2; 11]eststrictementcroissantesurl’intervalle
[−2; 7,5]car f quiestsadérivéeestpositivesurcetintervalle. RéponseB
5. L’équationexp[f(x)]=1équivautà f(x)=0,elleadmetdeuxsolutions. RéponseA
EXERCICE 2 5points
Communàtouslescandidats

1. a. D’aprèsl’énoncé p(A)=0,2 et p(A∩C)=0,6

b. OncherchelaprobabilitédeCsachantA:
p(A∩C) 0,6
p (C)= = =0,75A 0,8p(A)
Siunclient n’achètepasl’appareilphotoenpromotion,laprobabilitéqu’iln’achètepasnon
pluslacartemémoireenpromotionestde0,75.
2. Arbre
0,7 C
A0,2
C0,3
0,25 C
0,8 A
C0,75
3. D’aprèslaformuledesprobabilitéstotatesona:
p(C) = p(A∩C)+p(A∩C)
= p(A)×p (C)+p(A)×p (C)A A
= 0,2×0,7+0,8×0,25
= 0,34

Laprobabilitéqueleclientachètelacartemémoireestde0,34

4. OncherchelaprobabilitédeAsachantC:
p(A∩C) 0,2×0,7 7
p (A)= = = ≈0,412C
p(C) 0,34 17
Siunclientachètelacartemémoire,laprobabilitéqu’ilachètel’appareilphotoestde0,75.
5. a. Loideprobabilité
Bénéficeparclienteneuros 0 4 30 34
Probabilitéd’atteindrelebénéfice 0,6 0,2 0,06 0,14
b. L’espérencevaut:E=0×0,6+4×0,2+30×0,06+34×0,14=7,36.

Pour100clientsentrantdanssonmagasin,lecommerçantpeutespérerungainde736(.

AmériqueduNord 1 3juin2010BaccalauréatES
6. L’évènement contraire de «au moins un de ces trois clients n’achète pas l’appareil photo en pro-
motion»est«lestroisclientsachètel’appareilphotoenpromotion»donc
3p=1−0,2 =0,992

La probabilité qu’au moins un de ces trois clients n’achètepas l’appareil photo en promotion est
de0,992.

EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
PartieA-Étudepréliminaire
g(α) = 01. Ona:
1−2ln(α) = 0
1ln(α) =
2
1
2α = e
p
α = e
2. Commelafonction g eststrictementdécroissantesurl’intervalle]0;+∞[ets’annuleenα:
• g(x)estpositifsur]0;α[et
• g(x)estnégatifsur]α;+∞[
PartieB-Étuded’unefonction
ln(x) 1 ln(x) 1
1. Ona f(x)=2 + or lim =0et lim =0
x→+∞ x→+∞x x x x
Donc lim f(x)=0 .
x→+∞

Onadmettraque lim f(x)=−∞.
x→0
2. a. f estunquotientdefonctionsdérivables,elleestdoncdérivableetpourtoutréelx∈]0;+∞[:
2×x−(2ln(x)+1)×1
x′f (x) =
2x
2−2ln(x)−1
=
2x
1−2ln(x)
=
2x
g(x)
=
2x
′b. f (x) est du même signe que g(x) car un carré est toujours positif, on a donc le tableau de
variationsuivant:
x 0 α 20
′ + 0 −f (x)
f(α)
f(x)
−∞ 0
1 1
3. a. Onremarqueque f(x)=2× ×ln(x)+ ,
x x
′ 1c’estàdire f(x)=2u (x)u(x)+ avecu(x)=ln(x).Onendéduitque
x
2 2F(x)=(u(x)) +ln(x)=(ln(x)) +ln(x)Z51
b. Ona I = f(x)dx
4 1
h ¤1 52= ln(x) +ln(x)( ) 14
¡¡ ¢ ¡ ¢¢1 2 2= (ln5) +ln5 − (ln1) +ln1
4
2(ln5) +ln5
=
4
AmériqueduNord 2 3juin2010BaccalauréatES

2(ln5) +ln5
Onadonc I= ≈1,05
4
PartieC-Applicationéconomique
1. Lavaleurmoyennedubénéficeunitairepouruneproductionhebdomadairecompriseentre1000
et5000piècesestlavaleurmoyennedelafonction f entre1et5Z Z
5 51 1
c’estàdire f(x)dx= f(x)dx≈1,05
5−1 41 1
Lavaleurmoyennedubénéficeunitairepouruneproductionhebdomadairecompriseentre1000
et5000piècesestdoncde1,05(.

2. On doit résoudrel’équation f(x)=1,05, or on nepeut pas la résoudrede façon exacte. Sur [1; 5]
onaletableaudevariationsuivant:
x 1 α 5
′f (x) + 0 −
f(α)
f(x)
f(1) f(5)
1 2ln5+1−
2Or f(1)=1, f(α)=2e ≈1,21et f(5)= ≈0,84.
5
Enutilisantlethéorèmedesvaleursintermédiairesonmontrequecetteéquationadeuxsolutions:
unesurl’intervalle]1;α[etuneautresurl’intervalle]α; 5[.
Puis en utilisant la méthode de balayage sur la calculatrice on trouve que les solutions sont ap-
proximativement:
1,05<x <1,06 et 3,11<x <3,121 2

Ilfautdoncproduire105piècesou311piècespouravoirunbénéficeunitaireégalà1,05(.

EXERCICE 4 5points
Candidatn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
1. Voirgraphiqueenfind’exercice
Un modèle d’ajustement affine a été rejeté par le service de santé car les points ne sont proche
d’unedroite.
¡ ¢
2. Poureffectuerunajustementexponentiel,ondécidedeconsidérerles z =ln y .i i
Rangdelasemaine: x 1 2 3 4 5 6 7i¡ ¢
z =ln y 6,29 6,58 6,89 7,19 7,50 7,79 8,10i i
3. L’équationdeladroited’ajustementaffineparlaméthodedesmoindrescarrésest

z=0,3x+6

ln(y) = 0,3x+6Onadonc
0,3x+6y = e
94. a. Ona y(10)=e ≈8103
eOnpeutestimerà8103dunombredeconsultationsàla10 semaine.

b. Ondoitrésoudrel’inéquation:
500000
y(x)>
4
0,3x+6e > 12500
0,3x+6> ln12500
0,3x > ln12500−6
ln12500−6
x >
0,3
AmériqueduNord 3 3juin2010BaccalauréatES
ln12500−6
Or ≈11,4
0,3

eDonc la12 semainelenombredeconsultationsdépasseralequartdelapopulation.

5. En observant les valeurs données par le modèle exponentiel grâce à un tableau obtenu à l’aide
d’une calculatrice, on peut remarquer que y(17)≈66171 donc que suivant ce modèle le nombre
de consultations dépasse la population totale au bout de 17 semaine, ce qui n’est pas possible,
donclemodèlen’estplusvalablesurlelongterme.
Graphique
3400
3200
3000
2800
2600
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Indicedelasemaine
CorrigédePaulDuprat
AmériqueduNord 4 3juin2010
bbbbbbb
Nombredeconsultations