Concours Centrale Supélec

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Jean-Philippe Rey

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Niveau: Secondaire, Lycée
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2000 1/8 MATHÉMATIQUES II Filière PSI Le but du problème est d'établir certains résultats sur les polytopes de (voir déﬁnition plus loin) notamment lorsque . • Dans le problème on considère à la fois la structure vectorielle et la structure afﬁne de ; ainsi les éléments de pourront être considérés soit comme des vecteurs, soit comme des points, ce qui permettra d'utiliser les notations classiques résultant de ce double point de vue : ; (origine) ; , etc... • L'espace est muni de sa structure euclidienne canonique. Il est orienté (si nécessaire) par la base canonique, considérée comme base orthonormale directe. Ainsi, le produit scalaire s'écrit : , si et . La norme de est notée ; la longueur du segment est, par déﬁnition, la distance euclidienne entre et , c'est-à-dire . • On rappelle qu'une application afﬁne de dans lui-même est une applica- tion , telle qu'il existe et pour lesquels, , . Dans ce cas, est appelée la partie linéaire de . Déﬁnitions • Combinaison afﬁne, combinaison convexe : soient points de , réels de somme égale à , on appelle combinaison afﬁne IRn n 2= IRn IRn AB B A–= O 0= OM M O– M= = IRn U V( ) uivi i 1= n ∑= U u1 … un, ,( )= V v1 … vn, ,( )= U

symétries vectorielles

m1 …

conv m1

point barycentre des points affectés des coefﬁcients

?1 …

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MATHÉMATIQUES II

Filière PSI

n Le but du problème est d’établir certains résultats sur les polytopes deIR(voir déﬁnition plus loin) notamment lorsquen= 2. • Dans le problème on considère à la fois la structure vectorielle et la structure n n afﬁne deIR; ainsi les éléments deIRpourront être considérés soit comme des vecteurs, soit comme des points, ce qui permettra d’utiliser les notations classiques résultant de ce double point de vue : AB=B–A;O= 0(origine) ;OM=M–O=M, etc... n • L’espaceIRest muni de sa structure euclidienne canonique. Il est orienté (si nécessaire) par la base canonique, considérée comme base orthonormale directe. Ainsi, le produit scalaire s’écrit : n (U V)=u v, siU=(u,, u)etV=(v, ,v). i i1n1n i= 1

La norme deUest notée n 2 U=u; i i= 1 la longueur du segment[A,B]est, par déﬁnition, la distance euclidienne entre AetB, c’est-à-direAB. n • On rappelle qu’une application afﬁne deIRdans lui-même est une applica-n n tionf, telle qu’il existeAIRetL(IR)pour lesquels, n MIR,f(M)=f(A)+ (AM). Dans ce cas,est appelée la partie linéaire def.

•

Déﬁnitions

Combinaison afﬁne, combinaison convexe: soientM,, Mppoints 1p n deIR, , , préelsde somme égaleà1, on appelle combinaison afﬁne 1p

Concours Centrale-Supélec 2000

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