Chapitre Arithmetique des polynomes

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Michael Eisermann

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Niveau: Secondaire, Lycée
Math ematiques assist ees par ordinateur Chapitre 3 : Arithmetique des polynomes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/55 Objectifs de ce chapitre Nous allons discuter et approfondir l'arithmetique des polynomes sur un corps, notamment a coefficients rationnels, r eels, complexes. Afin de proceder syst ematiquement et efficacement, nous introduisons d'abord le vocabulaire adequat (corps et anneaux). Ensuite on etablira quelques outils fondamentaux, notamment la division euclidienne : S = PQ+R ou degR < degP , l'algorithme d'Euclide pour calculer pgcd(A,B), l'algorithme d'Euclide-Bezout : pgcd(A,B) = AU +BV . Les applications sont nombreuses ! Decomposition des polynomes et des fractions rationnelles. Localisation des racines reelles d'un polynome reel (Sturm). Localisation des racines complexes d'un polynome complexe. 2/55 Sommaire 1 Arithmetique des polynomes sur un corps, Euclide, Bezout Polynomes sur un corps La division euclidienne Les algorithmes d'Euclide et de Bezout 2 Evaluation, racines, decomposition en facteurs irr eductibles Fonctions polynomiales, methode de Horner, Horner–Taylor Multiplicit e d'une racine, r eduction aux racines simples Decomposition de polynomes en facteurs irr eductibles 3 Fractions rationnelles, el ements simples, int egration symbolique Le corps des fractions rationnelles