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Niveau: Secondaire, Lycée
LES GROUPES 1. Rappels Ce paragraphe contient des rappels sur les groupes et leurs morphismes. Définition. Un groupe est un ensemble G muni d'une opération binaire (ou loi) G?G? G avec trois propriétés : (i) Associativité : on a (xy)z = x(yz) pour tout x, y, z ? G. (ii) Neutre : il existe un e ? G avec xe = x et ex = x pour tout x ? G. (iii) Inverses : pour tout x ? G il existe un y ? G avec xy = e et yx = e. Un groupe est abélien s'il vérifie en plus (iv) Commutativité : on a xy = yx pour tout x, y ? G. L'élément neutre e ? G est unique. Le y de la condition (iii) dépend uniquement de x aussi, et on l'écrit y = x?1. C'est l'inverse de x. On a (xy)?1 = y?1x?1, (x?1)?1 = x. Notations. La notation (G, ·, e) signifie “le groupe G avec loi notée · et le neutre noté e.” Un groupe multiplicatif est un groupe avec loi appelée la multiplication et neutre noté 1. Comme (R?, ·, 1). Un groupe additif est un groupe avec loi notée + et neutre noté 0.
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LES GROUPES 1. Rappels Ce paragraphe contient des rappels sur les groupes et leurs morphismes. Définition. Un groupe est un ensemble G muni d'une opération binaire (ou loi) G?G? G avec trois propriétés : (i) Associativité : on a (xy)z = x(yz) pour tout x, y, z ? G. (ii) Neutre : il existe un e ? G avec xe = x et ex = x pour tout x ? G. (iii) Inverses : pour tout x ? G il existe un y ? G avec xy = e et yx = e. Un groupe est abélien s'il vérifie en plus (iv) Commutativité : on a xy = yx pour tout x, y ? G. L'élément neutre e ? G est unique. Le y de la condition (iii) dépend uniquement de x aussi, et on l'écrit y = x?1. C'est l'inverse de x. On a (xy)?1 = y?1x?1, (x?1)?1 = x. Notations. La notation (G, ·, e) signifie “le groupe G avec loi notée · et le neutre noté e.” Un groupe multiplicatif est un groupe avec loi appelée la multiplication et neutre noté 1. Comme (R?, ·, 1). Un groupe additif est un groupe avec loi notée + et neutre noté 0.
- signature de ?
- etiquettes désignant des membres distincts de z
- xn ?
- hy ?
- permutation
- membres de z
