1L3 MASS Systemes dynamiques TD
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Niveau: Secondaire, Lycée
1L3 MASS 2006/07. Systemes dynamiques. TD 2 Exercice 1 On considere une equation differentielle de type gradient x? = ?V ?(x) (1) ou V : R? R designe une fonction C1. Verifier graphiquement que dans le cas general les solutions de ce systeme convergent vers un minimum (local ou global) de V , lorsque t tend vers l'infini. Verifier en multipliant les deux membres de l'equation differentielle par V ?(x) que pour toute solution x(.) la fonction t ? V (x(t)) est bien une fonction decroissante. Est-elle strictement decroissante ? Qu'en deduisez-vous ? Etudier le cas ou V (x) = ?x 3 3 + x4 4 . Exercice 2 (Lemme de Gronwall) Soit ?, ? et v, des fonctions continues sur un intervalle [a, b] ? R, avec ? ≥ 0. On suppose que l'inegalite suivante est satisfaite ?t ? [a, b] v(t) ≤ ?(t) + ∫ t a ?(s) v(s) ds 1. On note w : t ? [a, b] ? R la fonction definie par w(t) = ∫ t a ?(s) v(s) ds Verifier que l'on a ?t ? [a, b] w?(t) ≤ ?(t) ?(t) + ?(t) w(t) 2.
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1L3 MASS 2006/07. Systemes dynamiques. TD 2 Exercice 1 On considere une equation differentielle de type gradient x? = ?V ?(x) (1) ou V : R? R designe une fonction C1. Verifier graphiquement que dans le cas general les solutions de ce systeme convergent vers un minimum (local ou global) de V , lorsque t tend vers l'infini. Verifier en multipliant les deux membres de l'equation differentielle par V ?(x) que pour toute solution x(.) la fonction t ? V (x(t)) est bien une fonction decroissante. Est-elle strictement decroissante ? Qu'en deduisez-vous ? Etudier le cas ou V (x) = ?x 3 3 + x4 4 . Exercice 2 (Lemme de Gronwall) Soit ?, ? et v, des fonctions continues sur un intervalle [a, b] ? R, avec ? ≥ 0. On suppose que l'inegalite suivante est satisfaite ?t ? [a, b] v(t) ≤ ?(t) + ∫ t a ?(s) v(s) ds 1. On note w : t ? [a, b] ? R la fonction definie par w(t) = ∫ t a ?(s) v(s) ds Verifier que l'on a ?t ? [a, b] w?(t) ≤ ?(t) ?(t) + ?(t) w(t) 2.
- points d'equilibre du systeme
- formule precedente
- position verticale avec le point materiel
- systeme differentiel d'ordre
- unique solution
- definie sur r2
- equation de mouvement
L3MASS2006/07.Syste`mesdynamiques.TD2
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Exercice 1tionequaerendiff´eleditlergdaytepntieocnOdisnere`´enu 0 0 x=−V(x) (1) 1 ou`V:R→Roinnufenotcengise´dC.´Vaphiquemerifiergrelsnsacqtneadeu g´en´erallessolutionsdecesyste`meconvergentversunminimum(localouglobal) deV, lorsquet´V.ifiireneretlumtevendl’rsfininbmerdseipliantlesdeuxme 0 l’´equationdiffe´rentielleparV(x)que pour toute solutionx(.)la fonctiont→ V(x(t))oicranssioct´endnunenofeeibtsecroissatementd´llsertcietE.tse-?etn 3 4 x x Qu’ende´duisez-vous?Etudierlecaso`uV(x) =−+. 3 4 Exercice 2 (Lemme de Gronwall)Soitα, βetv, des fonctions continues sur un intervalle[a, b]⊂R, avecβ≥0ligaest´vauieentts.Onusppsoqeeu’lnie´ satisfaite Z t ∀t∈[a, b]v(t)≤α(t) +β(s)v(s)ds a 1. Onnotew:t∈[a, b]→Ralraepniefid´ontincfo Z t w(t) =β(s)v(s)ds a V´erifierquel’ona 0 ∀t∈[a, b]w(t)≤β(t)α(t) +β(t)w(t) 2. OnnoteB:t∈[a, b]→Rla fonction primitive deβrainped´efi Z t B(t) =β(s)ds a Ve´rifierquel’ona −B0 −B(t) ∀t∈[a, b] (e w) (t)≤e β(t)α(t) Ende´duireque Z t R t β(r)dr ∀t∈[a, b]w(t)≤e β(s)α(s)ds s a 3.D´emontrerl’in´egalit´edeGronwall Z t R t β(r)dr ∀t∈[a, b]v(t)≤α(t) +e β(s)α(s)ds s a
