1L cours suites doc
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
1L-cours-suites.doc SUITES ET TYPES DE CROISSANCE ASSOCIÉS I) NOTATIONS Une suite est une liste ordonnée de nombres. Ex : J'ai un nénuphar magique dont la surface double chaque jour. On décide de noter un la surface qu'il aura dans n jours. Sachant qu'aujourd'hui il mesure 5 cm2, on cherche à calculer un : Demain, c'est à dire dans 1 jour, la surface du nénuphar sera donc u1 = 2 ? 5 = 10 cm2 Après-demain, c'est à dire dans …… jours, la surface du nénuphar sera donc …… = 2 ? 10 = 20 cm2 Le jour suivant, c'est à dire dans …… jours, la surface du nénuphar sera donc …… = 2 ? 20 = 40 cm2 Aujourd'hui, c'est à dire dans …… jours, la surface du nénuphar est donc …… = 5 cm2 Complétons le tableau ci-dessous : n 0 1 2 3 4 5 6 un D'une façon générale : Au jour n, la surface est notée un Le lendemain de ce jour n, c'est à dire au jour n + ……, la surface sera notée …… Sachant que cette surface aura doublée, on aura donc : un+1 = ……………… (pour tout n de ) Bilan : Nous avons défini une suite (un) telle que : ??? ?? u0 = 5 pour tout n de , un+1 = 2 ? un Remarques : • Ne pas confondre un et (un) : un est le terme de rang n ;
Voir
1L-cours-suites.doc SUITES ET TYPES DE CROISSANCE ASSOCIÉS I) NOTATIONS Une suite est une liste ordonnée de nombres. Ex : J'ai un nénuphar magique dont la surface double chaque jour. On décide de noter un la surface qu'il aura dans n jours. Sachant qu'aujourd'hui il mesure 5 cm2, on cherche à calculer un : Demain, c'est à dire dans 1 jour, la surface du nénuphar sera donc u1 = 2 ? 5 = 10 cm2 Après-demain, c'est à dire dans …… jours, la surface du nénuphar sera donc …… = 2 ? 10 = 20 cm2 Le jour suivant, c'est à dire dans …… jours, la surface du nénuphar sera donc …… = 2 ? 20 = 40 cm2 Aujourd'hui, c'est à dire dans …… jours, la surface du nénuphar est donc …… = 5 cm2 Complétons le tableau ci-dessous : n 0 1 2 3 4 5 6 un D'une façon générale : Au jour n, la surface est notée un Le lendemain de ce jour n, c'est à dire au jour n + ……, la surface sera notée …… Sachant que cette surface aura doublée, on aura donc : un+1 = ……………… (pour tout n de ) Bilan : Nous avons défini une suite (un) telle que : ??? ?? u0 = 5 pour tout n de , un+1 = 2 ? un Remarques : • Ne pas confondre un et (un) : un est le terme de rang n ;
- u0 ?
- courbe d'équation
- surface du nénuphar
- mathématiciens courbe exponentielle
- points de la représentation graphique
- ?u1 u0
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1L-cours-suites.doc SUITES ET TYPES DE CROISSANCE ASSOCIÉSI) NOTATIONS Une suite est une listeordonnéede nombres. Ex :J'ai un nénuphar magique dont la surface double chaque jour. On décide de noterunla surface qu'il aura 2 dansn, on cherche à calculerjours. Sachant qu'aujourd'hui il mesure 5 cm un: 2 Demain, c'est à dire dans 1 jour, la surface du nénuphar sera doncu1= 2 × 5 = 10 cm 2 Après-demain, c'est à dire dans …… jours, la surface du nénuphar sera donc……= 2 × 10 = 20 cm 2 Le jour suivant, c'est à dire dans …… jours, la surface du nénuphar sera donc……= 2 × 20 = 40 cm 2 Aujourd'hui, c'est à dire "dans …… jours", la surface du nénuphar est donc……= 5 cm Complétons le tableau ci-dessous : n0 1 2 3 4 5 6 unD'une façon générale : Au journ, la surface est notéeunLe lendemain de ce journ, c'est à dire au journ+ ……, la surface sera notée …… Sachant que cette surface aura doublée, on aura donc : un+1= ……………… (pour toutnde) Bilan : ì ïu0= 5 í Nous avons défini une suite (un) telle que : îïpour toutnde,un+1= 2 ×un Remarques : ·Ne pas confondreunet (un) :unest le terme de rangn; (un) est la suite. 2 2 ·Ne pas confondreun+1etun+ 1 : Par exemple, sin= 4,un+1=u5et= 160 cm un+ 1 =u4+ 1 = 81 cm ·De même queun+1est le terme qui suitun,unest lui-même le terme qui suit …… On aurait donc aussi pu écrire : pour toutnde*,un= 2 ×unème ème ·u3! (terme de la suite mais le 4 n'est pas le 3 u0,u1,u2,u3) p103: 1, 3, 4, 6, 8, 11, 12
1L-cours-suites.doc II) SUITES ARITHMÉTIQUES ET CROISSANCE LINÉAIRE 1) Définition Une suite arithmétique est une suite telle queun+1un est constant : chaque terme est la somme du précédent et d'un nombre constant que l'on appelle raison de la suite. Pour toutnde,u=u+ r n+1ngénéral défini par récurrence Terme er Il suffit de connaître le 1 terme de la suiteu0et sa raison r pour pouvoir déterminer tous les autres termes de la suite. er Ex :Soit la suite arithmétique (un) de 1 terme 2 et de raison 3 : u0= 2 u1=u0+3=5 u2=u1+3=8 u3=u2+3=11 Remarque :r > 0 la suite est strictement croissante Si Si r < 0 la suite est strictement décroissante 2) Calcul du terme généralunen fonction denDans l'exemple ci-dessus, si nous voulons calculeru10000, il nous faut calculer auparavant ses 10000 prédécesseurs !!! Nous allons donc chercher une formule permettant de calculer directementunà partir den. Soit une suite arithmétique (un) de raison r : Pour toutnde,un+1=un+ r On a donc : u0 u1=u0+ r u2=u1+ r = (u0+ r) + r =u0+ 2 r u3=u2+ r = (u0+ 2 r) + r =u0+ 3 r u4=u3+ r = (u0+ 3 r) + r =u0+ 4 r un=u0+nr Pour toutnde,un=u0+ngénéral défini en fonction der Terme n
p111: 2, 5, 6 p112: 8, 10 p116: 27, 28 p114: 18 p117: 42, 43, 46, 47
1L-cours-suites.doc 3) Représentation graphique : croissance linéaire Ex :u0= 2 = 1et r unu4On a donc pour toutnde: u3 u2un= ………. u1u0 1 n0 1 2 3 4 ·Tous les points de la représentation graphique sont alignés sur la droite d’équationy= ………. On parle donc de croissance linéaire (même si la droite descend !) ·Si r > 0 (suite croissante) la droite monte Si r < 0 (suite décroissante) la droite descend. ·On a souvent l’habitude de relier les points de la représentation graphique pour mettre en valeur la progression de la suite mais, en toute rigueur, la représentation graphique de la suite se limite à ces points ! 4) Reconnaître si une suite est arithmétique ou non : 2 possibilités : ·On montre queun+1unest constant (ne dépend pas de n) Ex :Soit une suite (un) telle que pour toutnde3* : un= 2 (5 + 1,5un–1) On a alors : 3un= 2 (5 + 1,5un–1) 3un= 10 + 3un–13 (unun–1) = 10 10 (unun–1) = 3 10 doncunun–1est constant et (un) est bien une suite arithmétique de raison 3 ·On met en évidence queunpeut s'écrire sous la formeun=u0+nr 2 Ex :Soit la suite (un) telle que pour toutnde:un= 1 n(n+ 3) + 2n2 2 On a alors :un1 = n n+ 2n = 1 ner Nous reconnaissons ici une suite arithmétique de raison …… et de 1 termeu0=……. Remarques : ·Ne pas oublier les "pour toutnde". ·peut commencer à parler de raison de la suite qu'une fois que l'on a montré qu'elle est arithmétique.On ne ·Si l'on veut montrer qu'elle n'est pas arithmétique, le mieux est de prendre un contre exemple : 2 Ex :Soit la suite (un) telle que pour toutnde,un=nü u1u0= 1 ý On a : doncu2u1u1u0 et la suite n'est pas arithmétique. u2u1= 4 þ
p111: 4 p116: 33, 35 p112: 13, 14 p117: 37, 40, 41 p113: 15, 16 p115: 20
1L-cours-suites.doc III) SUITES GÉOMÉTRIQUES ET CROISSANCE EXPONENTIELLE 1) Définition un+1 Une suite géométrique est une suite telle que est constant : chaque terme est le produit du précédent et un d'un nombre constant que l'on appelle raison de la suite. Pour toutnde,un+1=unTerme général défini par récurrence× q er Ex :Soit la suite géométrique (un) de 1 terme 2 et de raison 3 : u0= 2 u1= u2= u3= 2) Calcul du terme généralunen fonction denSoit une suite géométrique (unPour tout) de raison q : nde,un+1=un× q On a donc : u0 u1=u0× q u2=u1× q = (u0× q) × q =............ u3=................................................. u4=................................................. un=................................................. Pour toutnde,un= Terme général défini en fonction den
p123: 1, 3, 5 p124: 9 p126: 22 p127: 30, 40, 46 p128: 48, 49, 51, 52 p129: 55
3) Représentation graphique : croissance exponentielle Ex :u0= 1 et q = 2 un
On a donc pour toutnde: un= ……….
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1 n 01234·Tous les points de la représentation graphique sont situés sur la courbe d’équationy= ………. x Une telle courbe dont l'équation est de la formey=a×b est appelée par les mathématiciens courbe exponentielle. On dit donc ici que la croissance de la suite est exponentielle 4) Reconnaître si une suite est géométrique ou non : 2 possibilités : ·On montre que ………… est constant Ex :Soit la suite (un) telle que pour toutnde: 2un+1= 3unun+13 On a alors : = un2 un+13 donc est contant et (un) est bien une suite géométrique de raison un2 ·On met en évidence queunpeut s'écrire sous la forme………….n+1 Ex :Soit la suite (un) telle que pour toutnde:un= 5 × 3 n1 On a alors :un35 × 5 × = n = 15 × 5 er Nous reconnaissons ici une suite géométrique de raison …… et de 1 termeu0=……. Rappels : m+n m n ·a=a×am×n m n ·a= (a)0 ·a= 1 (sia0)
p123: 4 p124: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 p127: 32, 34, 35, 45 p125: 17, 19
Avec Excel: 1L-cmp-suites.xls p114: 19 p117: 45 p125: 20, 21
1L-cours-suites.doc IV) PLACEMENTS A INTERETS SIMPLES OU COMPOSES On décide de placer un capital C0au taux annuel de i%. Appelons Cnla valeur acquise du capital aprèsnannées de placement. On distingue deux types de placements : 1) Placements à intérêts simples Année Somme Intérêts Somme Valeur acquise du capital(en fin d'année) (fin d'année) = ce qui est placé à la banque + tout ce qui m'a été reversé depuis le début placée qui m'est (début d'année)rendue (fin d'année) i i iæiö 1 C 0C0× C0× C1= C0+ C0C× = 0ç1 +÷100 100 100è100ø i i iæ2 × iö 2 C 0C0× C0× C2= C1+ C0C× = 0ç1 +÷100 100 100è100ø i i iæ3 × iö 3 C 0C0× C0× C3= C2+ C0C× = 0ç1 +÷100 100 100è100ø æn× iö nPour tout n deC, on a donc : n= C0ç1 +÷è100ø er Nous reconnaissons une suite arithmétique de 1 terme …………… et de raison ……………. 2) Placements à intérêts composés Année Somme Intérêts Somme Valeur acquise du capital(en fin d'année) (fin d'année) = ce qui est placé à la banque + tout ce qui m'a été reversé depuis le début placée qui m'est (début d'année) rendue (fin d'année) i æiö 1 C 0C0× C1= C0ç1 +÷100è100ø 2 i æiö æiö 2 C1 C × 1C2= C1ç1 +÷= C0ç1 +÷100 è100ø è100ø 3 i æiö æiö 3 C2 C × 2C3= C2ç1 +÷= C0ç1 +÷100 è100ø è100ø n æiö nPour tout n de, on a donc : Cn= C0ç1 +÷è100ø er Nous reconnaissons une suite géométrique de 1 terme …………… et de raison …………….
1L-cours-suites.doc 3) Exercice : Un placement dont le taux annuel est fixe (ne varie pas selon les années) a rapporté 30% en 3 ans. Quel est ce taux annuel ? Appelons Cnla valeur acquise du capital aprèsnannées de placement et t le taux annuel. Il faut distinguer 2 cas selon le type de placement : ·Si le placement est à intérêts simples : æ30ö On a d'une part C3= C0ç1 +÷= C0× 1,3 è100ø æ3 tö et d'autre part C3= C0ç1 +÷è100ø 3 t 3 t 100 × 0,3 donc 1 + = 1,3 donc = 0,3 donc t = = 10 100 100 3 Le taux annuel est donc de 10% ·Si le placement est à intérêts composés : æ30ö On a d'une part C3= C0ç1 +÷= C0× 1,3 è100ø 3 ætö et d'autre part C3= C0ç1 +÷è100ø 3 ætö3 ætö3 doncç1 +÷= 1,3 doncç1 +÷= 100 ( 1,3= 1,3 donc t 9,14 è100ø è100ø Le taux annuel est donc environ de 9,14%
p126: 23 p133: 5
V) SYNTHESE : Type de croissance Suite
un+1en fonction deun
unen fonction den
Allure de la représentation graphique
Type de placement
Variation Augmentation
Croissance linéaire er Suite arithmétique de 1 termeu0et de raison r Pour toutnde: (u0étant connu) Pour toutnde:
Variation absolue constanteun+1un
Augmentation constante
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Croissance exponentielle er Suite géométrique de 1 termeu0et de raison q Pour toutnde: (u0étant connu) Pour toutnde:
un+1un Variation relative constante un Augmentation en pourcentage constante
p130-131: TD p132: 2 p134: 6 1L-exo-suite-de-fibonacci.doc
