Approximation diophantienne et flots sur l'espace des reseaux
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- cours - matière potentielle : des quinze dernieres
Approximation diophantienne et flots sur l'espace des reseaux Emmanuel Breuillard Au cours des quinze dernieres annees s'est developpee en approximation diophantienne une nouvelle approche basee sur l'etude de l'action de cer- tains groupes de transformations lineaires sur l'espace ? des reseaux de Rn. Cette nouvelle methode permet de traduire le probleme diophantien con- sidere en termes emprunts a la theorie des systemes dynamiques. Ainsi elle met a profit les techniques propres a la theorie des systemes dynamiques et a la theorie ergodique (classification des orbites fermees, des mesures invari- antes, melange, entropie, etc), ce qui enrichit considerablement les outils a notre disposition pour s'attaquer aux problemes. Pour ne citer que les cas les plus celebres ou cette approche s'est revelee fructueuse pour resoudre des problemes diophantiens, nous mentionerons la conjecture d'Oppenheim sur les valeurs entieres des formes quadratiques reelles, resolue par cette ap- proche par G. Margulis en 1986 [2], les conjectures de Baker-Sprinzuk sur l'approximation diophantienne sur les varietes, resolues par D. Kleinbock et G. Margulis en 1998 [4], ou encore la fameuse conjecture de Littlewood, tou- jours ouverte, mais qui apparaıt desormais comme une consequence d'une conjecture de G. Margulis sur la classification des mesures invariantes par le groupe diagonal sur l'espace ?, voir [3]. Nous choisirons dans ce cours de mettre l'accent sur cette derniere conjecture.
- conjecture de littlewood
- recurrence des flots unipotents
- approximation diophantienne sur les varietes
- theorie des systemes dynamiques
- approximation diophantienne
- transformations lineaires sur l'espace ? des reseaux de rn
- flots unipotents sur les espaces homogenes
Approximationdiophantienneetflotssurl’espacedesre´seaux
EmmanuelBreuillard
Aucoursdesquinzedernie`resann´eess’estde´veloppe´eenapproximation diophantienneunenouvelleapprochebase´esurl’e´tudedel’actiondecer-n tainsgroupesdetransformationsline´airessurl’espaceΩdesr´eseauxdeR. Cettenouvelleme´thodepermetdetraduireleproble`mediophantiencon-side´re´entermesemprunts`alathe´oriedessyste`mesdynamiques.Ainsielle met`aprofitlestechniquespropresa`lath´eoriedessyste`mesdynamiqueset a`lathe´orieergodique(classificationdesorbitesferm´ees,desmesuresinvari-antes,me´lange,entropie,etc),cequienrichitconsid´erablementlesoutilsa` notredispositionpours’attaquerauxproble`mes.Pourneciterquelescas lesplusce´le`breso`ucetteapproches’estre´ve´l´eefructueusepourre´soudre desprobl`emesdiophantiens,nousmentioneronslaconjectured’Oppenheim surlesvaleursenti`eresdesformesquadratiquesre´elles,re´solueparcetteap-proche par G. Margulis en 1986 [2], les conjectures de Baker-Sprinzuk sur l’approximationdiophantiennesurlesvari´et´es,r´esoluesparD.Kleinbocket G. Margulis en 1998 [4], ou encore la fameuseconjecture de Littlewood, tou-joursouverte,maisquiapparaˆıtd´esormaiscommeunecons´equenced’une conjecture de G. Margulis sur la classification des mesures invariantes par le groupe diagonal sur l’espace Ω, voir [3].Nous choisirons dans ce cours demettrel’accentsurcettederni`ereconjecture.Nousexpliqueronsnotam-mentlesderniersde´veloppementslaconcernantetenparticulierlestravaux deEinsiedler,KatoketLindenstrauss[1].Ceux-cidonnentdesr´esultats partiels allant dans le sens de la conjecture de Littlewood.En classifiant lesmesuresinvariantesd’entropiepositive,ilsde´montrentuncasparticulier delaconjecturedeMargulisetende´duisentquel’ensembledesexceptions possiblesa`laconjecturedeLittlewoodestdedimensiondeHausdorffnulle.
Programmepr´evisonnel: 1`eres´eance:Dynamiquesurl’espacedesr´eseaux.Ergodicit´e.R´ecurrence desflotsunipotents.Th´eor`emedeRatner. 2e`mese´ance:Conjectured’Oppenheim.Approximationdiophantienne surlesvarie´te´s,loisdeKhintchine.ConjecturedeBaker-Sprinzuk.
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