Sujet du bac L 2008: Mathématique

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01 janvier 2008

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Arbre de probabilité, étude de fonction, dérivée et tangente, intersection de plan, modulo et logarithme décimal.
Sujet du bac 2008, Terminale L, Polynésie

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Baccalaur´eatMathe´matiquesEnseignementdespe´cialite´ Polyne´siejuin2008

Exercicepoints1 4 Pour un jeu, on dispose de deux urnes. Lapremie`reurnecontient6boulesindiscernablesautoucher.Surchacunedecesbouleseste´criteunelettre,les 6lettrespermettantdereconstituerlepr´enomMARGOT. Lasecondeurnecontient7boulesindiscernablesautoucher.Surchacunedecesbouleseste´criteunelettre,les7 lettrespermettantdereconstituerlepre´nomJUSTINE. Lejeused´erouleendeux´etapes: ´ Etape1:Onprendauhasardunebouledelapremie`reurneetonregardelalettretir´ee. ´ Etape2:Silalettretire´eestunevoyelle,ontireauhasardladeuxie`mebouledanslapremie`reurne,la premi`erebouletir´een’´etantpasremiseenjeu.ee´ritagdrnOer.ttredeleeconelas Silalettretire´eestuneconsonne,ontireauhasardladeuxi`emebouledansladeuxi`emeurne.On regardelasecondelettretire´e. Onconsid`erelesdeuxe´v´enements: •V1«alrpeee´nutsyoveellei`emelertretiret»; •V2«letertterie´eetsladeuxi`emelleyovenu».

1.Calculerlaprobabilite´quelapremie`relettretire´esoitunevoyelle. 2.Calculerlaprobabilit´equeladeuxie`melettretir´eesoitunevoyellesachantquelapremie`reestuneconsonne. 3.Reproduireetcompl´eterl’arbresuivant: V2

37 4.Montrerquelaprobabilite´queladeuxie`melettretir´eesoitunevoyelleest. 105 5.Onsupposequeladeuxie`melettreestunevoyelle. Quelleestlaprobablilit´equelapremi`erelettretir´eesoitunevoyelle?

Exercicepoints2 6 2x e−1 Onconside`relafonctionfﬁe´darniepf(xntmotruopuo)=erbrel´ex; +de [0∞[. 2x e +1 on note (Cer`pre(eevadsnelesentatirberepr´s)uocaOx, Oy). 1. Calculerf(0) et justiﬁer quef= 0(ln 3),8. 2x 4e ′ ′ 2. a) Onnotefonctlafdnoiire´ee´vedfemD´tronqueroueprre´le.xpositif,f(x.) = 2x2 (e +1) b)D´eterminerlesensdevariationdelafonctionfsur [0; +∞[. ′ c) Calculerfe´uqurendnletaoi0),p(onneuisd(ebruocntgeanatla`aΔ)e(C) au point d’abscisse 0. −2 ´ 3.a)Etablirque,pourtoutnombrer´eelxpositif,f(x)−1 =. 2x e +1 b)Ende´duireque,pourtoutnombrere´elxpositif,f(x)<1. 4.Lesquatregraphiquescidessousonte´t´eobtenus`al’aided’unlogicielinformatique. Parmicesquatregraphiques,unseulpeutrepre´senterlacourbe(C) et la tangente (Δ). Pre´ciserquelestcegraphiqueetjustiﬁersoigneusementl’e´liminationdechacundestroisautresgraphiques. y y

+ O

−1

+ O

Exercicepoints3 6 Laﬁgurecidessousrepr´esente,enperspectivecavalie`re,lesol(A1A4D4D1) et le mur de droite (A1B1B4A4) d’une salle.Lemuretlesolsontpave´savecdescarrelagesidentiquesdeformecarre´e.

B4 B3 B2 C4 B1

A4 C1 A3 A2 A1 D1

Lebutdel’exerciceestderepr´esentersurl’annexececarrelageenperspectivecentralesachantquelesolest horizontal, le mur est vertical et le plan (D1A1B1) est frontal.

Dans cette perspective centrale, on convient de noter avec une lettre minuscule les images des points. Ainsi,a1 est l’image deA1,a2l’image deA2, ...

Onarepr´esente´surlafeuilleannexelaligned’horizon,lesegment[a1b1] et le pointa3. Aucune justiﬁcation des constructions n’est attendue, mais on laissera apparents tous les traits de construction.

1. a) Construirele point de fuite de la droite (A1A3et´no),f, et le pointb3. b) Construirele segment [a2b2]. c) Construirele pointc1. d) Construirele segment [a4b4]. 2.a)Pr´eciser,enjustiﬁantlar´eponse,ler´eelktel quea1d1=ka1c1. b) Construirele pointd1. c) Terminerla ﬁgure. 3.Pourchacunedestroisaﬃrmationscidessousdire,enjustiﬁantlare´ponsedonne´e,sielleestvraieoufausse. Encasder´eponsen´egative,onpourrafourniruncontreexempleissudelaﬁgurecomple´t´eeenannexe. (1) Leplan (A4B4D4) est frontal. (2)Enperspectivecentrale,lesmilieuxsonttoujoursconserv´es. (3)Enperspectivecentrale,lesmilieuxnesontjamaisconserve´s.

Exercice4 4points Danscetexercice,toutetracederecherche,mˆemeincomple`te,oud’initiative,meˆmenonfructueuse,serapriseen comptedansl’e´valuation.

2008 Lebutdel’exerciceestd’´etudierquelquespropri´ete´sdunombreentier3dontcertainesnepeuventeˆtreobte nues`al’aided’unecalculatrice.

2008 PartieA:Chiﬀredesunit´esde3 8 2008 1. Justiﬁerque 3≡m1do01du´end.E3ueeqir≡1 mod10. 2008 2.Quelestlechiﬀredesunite´sde3?

2008 Partie B : Nombre de chiﬀres de3 Danscettepartie,logd´esignelafonctionlogarithmede´cimal. Onpourrautiliserlesproprie´t´essuivantes: n ∗loga=n×logaourt,pmorbuontleree´astrictement positif et tout nombre entiern. ∗log 10= 1 ∗La fonction logest strictement croissante sur ]0; +∞[.

2008 1. Sachantque 0,4771<log 3<0,4772, justiﬁer l’encadrement 958<)log (3<959. 958 959 2. Calculerlog (10) et log(10 ). 958 2008959 3.De´duiredesquestionspr´ec´edentesl’encadrement10<3<10 . 4.Expliquercommentonpeutd´eduiredel’ine´galite´pre´c´edentelenombredechiﬀresdel’´ecritured´ecimaledu 2008 nombre entier 3.

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