Sujet du bac L 2006: Mathématique

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01 janvier 2006

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Géométrie, Fonctions, Suites, Probabilités
Sujet du bac 2006, Terminale L, Polynésie

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01 janvier 2006

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[BaccalauréatLPolynésiejuin2006\
L’usaged’unecalculatriceestautorisée 3heures
EXERCICE 1 6points
Unjeuconsisteâjeterundédeformetétraédriquedontlesfacessontnumérotées
de1à4.
Ce dé est pipé de telle façon que la probabilité d’obtenir une face est proportion-
nelleaunuméroportéparcetteface.
Onnote p laprobabilitéd’obtenirlenombrei pouri∈{1; 2; 3; 4}.i
1. Exprimerp enfonctiondei puisvériﬁerquelaprobabilitéd’obtenirunnombrei
3
pairest .
5
2. Onjette le dé. Si le nombreobtenu est pair, la somme reçuepar le joueur est
égaleàsa miseaugmentée de10%. Silenombreobtenuestimpair, lejoueur
reçoitsamisediminuéede11euros.Lamiseminimaleestde20euros.
Unjoueurdécidedefairetroispartiessuccessives:
– ilmisecenteurospourlapremièrepartie;
– pourlasecondepartieilmiselasommereçueàl’issuedelapremièrepartie;
– pourlatroisièmepartieilmiselasommereçueàl’issuedelasecondepartie.
a. Montrerque,pour cejoueur, les montants possibles delasomme reçue
â l’issue des trois parties sont, arrondies â un euro près, 133 euros, 110
euros,109euros,108euros,88euros,87euros,86euroset67euros.
18
b. Montrerquelaprobabilitédegagner110eurosestégaleâ .
125
c. Calculerlaprobabilitédechacundesquatreévènementsquiconduisent
âuneperte.
d. Montrerquelaprobabilité, pour cejoueur, degagnerdel’argentestsu-
périeureàcelled’enperdre.
Indication:pourlaquestion2,onpourras’aiderd’unarbre.
EXERCICE 2 5points
PARTIEA
xOnconsidèrelafonction g déﬁniesurRpar g(x)=e −2x.
′ ′1. Calculer g (x) où g désigne la dérivée de g puis dresser le tableau de varia-
tionsde g.
2. Endéduirequepourtoutréel x deR, g(x)>0.
PARTIEB
Onconsidèrelafonction f déﬁniesurRpar
x 2f(x)=e −x
1. Déterminerlalimitede f en−∞puislalimitede f en+∞.
Pour la limite en +∞ on pourra remarquer que pour x non nul f(x) peutµ ¶xe2s’écrire: x −1 .
2x
′ ′2. Calculer f (x)où f désignelafonctiondérivéedelafonction f,puisenutili-
santlapartieAconstruireletableaudevariationsde f.BaccalauréatL
3. Onadmetquel’équation f(x)=0admetaumoinsunesolutiondansR.
a. Calculer f(−1)et f(0).
b. Montrer que la solution de l’équation f(x)=0 est unique et qu’elle ap-
partientàl’intervalle[−1; 0].
c. En utilisant une calculatrice pour calculer f(x) pour différentes valeurs
−3de x,donnerunevaleurapprochéeà10 prèsdecettesolution.
Justiﬁerlavaleurretenue.
EXERCICE 3 5points
La reine Cléopâtre ordonna â son architecte, le célèbre Numérobis, de réaliser une
pyramiderégulièreàbasecarréedontlesdimensionsdevaientêtretellesquelecarré
delahauteursoitégalàl’airedechaquefacetriangulairedecettepyramide
1. Compléter le dessin donné en annexe, représentant la pyramide en perspec-
tivecavalière;LestlecentreducarréAOUT,Iestlesommetdelapyramide,J
lemilieudusegment[OU].
IJ
OnposeOJ=r ;IL=h et t= .
JL
2. Calculer:
a. LalongueurJLenfonctionder.
b. LalongueurIJenfonctionder etdeh.
c. Endéduirelavaleurde t enfonctionder eth.
d. L’airedutriangleOUIenfonctionder eth.
3. Montrerquel’exigencedeCléopâtresetraduitparlarelation:
p
2 2 2h h +r= (1)
2r r
24. a. Calculer t −1.
2b. Endéduirequ’alorsl’égalité(1)peuts’écrire: t −t−1=0 (2).µ ¶21 5 25. a. Montrerque: t− − =t −t−1.
2 4
b. Endéduirelessolutionsdel’équation(2).
c. Quelnomportelaseulesolutionpossible?
EXERCICE 4 4points
Unglobe-trotterapariédeparcourir5 000kmâpied.
Ilpeut, frais etdispos, parcourir50km enunejournée, maischaque jour la fatigue
s’accumuleetdoncsaperformancediminuede1%touslesjours.
Onnoterad ladistanceparcouruedurantlen-ièmejour.n
1. Calculerlesdistancesd , d , d parcouruesdurantlestroispremiersjours.1 2 3
2. Expliquer pourquoi d = 0,99d . En déduire la nature de la suite (d ) etn+1 n n
l’expressionded enfonctionden.n
3. a. Calculer, en fonction de n, le nombre total L de kilomètres parcourusn
auboutden jours.
L =d +d +???+d .( )n 1 2 n
b. EndéduirelalimitedeL lorsquen tendvers+∞.n
Leglobe-trotterpeut-t-ilgagner?
4. À l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre minimal de jours N qui lui
seraientnécessairespourparcourir4 999km.
Polynésie 2 6juin2006BaccalauréatL
Onrappelleque:
– Lasomme S des n premierstermesd’unesuite arithmétique (u )deraison rn
est:
u +u1 n
S=u +u +???+u =n1 2 n 2
′– La somme S des n premiers termes d’une suite géométrique (v ) de raisonn
q (q6?1)est:
n1−q′S =v +v +???+v =v1 2 n 1 1−q
Polynésie 3 6juin2006BaccalauréatL
ANNEXEdel’exercice3àrendreaveclacopie
I
h
T
U
A O
Polynésie 4 6juin2006