Sujet du bac L 2004: Mathématique

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01 janvier 2004

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Fonctions, Suites, Probabilités
Sujet du bac 2004, Terminale L, Polynésie

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[BaccalauréatLPolynésiejuin2004\
L’usaged’unecalculatriceestautorisée 3heures
L’annexeestàrendreaveclacopie
Lecandidatdoittraitertroisexercices
Obligatoirement:l’exercice1etl’exercice2
Auchoix:l’exercice3oul’exercice4
EXERCICE 1 OBLIGATOIRE 8points
Onconsidèrelafonction f déﬁniesurl’intervalle[1;5]par
4
f(x)= +2.
x
Onnote(C)lacourbereprésentative de f dansleplanrapportéàunrepèreortho-³ ´
→− →−
normal O, ı ,  .
PartieA
′ ′1. Onnote f lafonctiondérivéedelafonction f.Calculer f (x).
′2. Étudierlesignede f (x)etdresserletableaudevariationsdelafonction f.
3. Compléterletableaudevaleursdelafonction f donnésurl’annexe(àrendre
aveclacopie).
4. PlacerlespointsA,B,C,D,L,Msurl’annexe(àrendreaveclacopie).Tracerla
courbe(C)surl’annexe.
PartieB
1. OnnoteFlepointdecoordonnées(2; 0)etGlepointdecoordonnées(4;0).µ ¶
3
On a construit sur l’annexe le rectangle R dont la longueur mesure f ,1 2
dontunelargeurestlesegment[EF]ettelquelepointKsesituesurlalargeur
opposée.
Construire de manière analogue les rectangles R et R déﬁnis de la manière2 3
suivante:
• R estlerectangledontlalongueurmesure f(3)dontunelargeurestleseg-2
ment[GF]ettelquelepointLsesituesurlalargeuropposée;µ ¶
9
• R est le rectangle dont la longueur mesure f , dont une largeur est le3 2
segment[GH]ettelquelepointMsesituesurlalargeuropposée.
2. Calculerlasomme A ,desairesdeR ,R etR .Endonnerunevaleurappro-1 1 2 3
chéeà0,01près.
PartieC
OnconsidèrelafonctionF déﬁniesurl’intervalle[1;5]par
F(x)=4lnx+2x.
′1. MontrerqueF (x)= f(x).
2. On admet que l’aire du domaine du plan limité par l’axe des abscisses. la
courbe (C)et les droites d’équations respectives x=1, x=5 est donnée par
F(5)−F(1).
Calculerl’aire A decedomaine.Endonnerunevaleurapprochéeâ0,01près.2BaccalauréatLspécialité
EXERCICE 2 6points
Uneétudeaétéfaitedansunlycéeendébutd’annéescolaire,concernantlacréation
dunjournal.Touslesélèvesontétéinterrogés.
Aulycéeila55%deﬁlles.
À la question : «achèteriez-vous le journal du lycée?», 72% des ﬁlles ont répondu
OUI,60%desgarçonsontréponduOUI.
PartieA
On choisit au hasard un élève du lycée. Chaque élève a donc la méme probabilité
d’êtrechoisi.
OnappelleFl’évènement«l’élèvechoisiestuneﬁlle».
OnappelleOl’évènement «l’élèvechoisiaréponduOUI».
OnnoteFl’évènement contrairedeFetOl’évènement contrairedeO.
1. Recopieretcompléterl’arbredeprobabilitésci-dessous(onnoterasurchaque
branchelaprobabilitécorrespondante).
F F
O O O O
2. Calculer la probabilité que l’élève choisi soit une ﬁlle et que cet élève ait ré-
ponduOUI.
3. Calculer laprobabilitéquelélève choisisoitungarçonetquecetélèveaitré-
ponduOUI.
4. Endéduirelaprobabilitéquel’élèvechoisiaitréponduOUI.
PartieB
−3Danscettepartielesrésultatsserontarrondisà10 près.
Lejournalestcrééaulycéeetsonpremiernuméroparaitaumoisdedécembre,puis
unefoisparmoisjusqu’aumoisdemaiinclus.
On interroge un élève du lycée au mois de juin. On suppose que chaque mois de
parution, la probabilité que l’élève achète le journal est 0,6 et cela de façon indé-
pendantechaquemois.Cetteprobabiliténechangepasaucoursdel’année.
1. Calculerlaprobabilitéquecetélèven’aitjamaisachetélejournal.
2. Calculerlaprobabilitéquecetélèveaitachetélejournalaumoinsunefois.
3. Calculerlaprobabilitéquecetélèveaitachetélejournalexactementdeuxfois.
EXERCICE 3 6points
1. Onseproposedecrypterunmessageenremplaçantchaquelettredumessage
paruneautrelettre.Pourcelaonattribueàchaquelettredel’alphabetunrang
(Aalerang0,Balerang1,...etZalerang25).
Ondonneci-dessouslerangdeslettresdel’alphabet:
Polynésie 2 juin2004BaccalauréatLspécialité
lettre A B C D E F G H I J K L M
rangde
lalettre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
lettre N O P Q R S T U V W X Y Z
rangde
lalettre 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
On remplace la lettre de rang x par la lettre de rang y (06 y6 25) tel que
y≡7x+3 (modulo26).
Parexemple:pourcrypterlelettreR,
• onrepèresonrang(icix=17);
• oncalcule y;onobtientalors:
y≡7×17+3 (modulo26)
y≡122 (modulo26):
y≡18 (modulo26)puisque122=4×26+18;
donc y=18.
• onremplaceRparlalettrederang18,quiestlalettreS.
CrypterlemotSECRET
2. Onseproposemaintenantdedécrypter.
Parexemple,pourtrouverquelleestlalettrequiaétéremplacéeparlalettreNderang y=13
• Ilsufﬁtderésoudrel’équation13≡7x+3 (modulo26):
• Celarevientàchercherx telqu’onpuisseécrire7x≡10−26n avecn entiernaturel
• Endonnantàn lesvaleursentièressuccessives0,1,2,...ontrouve x=20.Lalettrequiaété
remplacéeparlalettreNapourrang20,c’estdonclalettreU.
Onareçulemessagesuivant:SFNZZHGF.
Décrypterlemessagereçu.
EXERCICE 4 6points
PartieA
Soit (u )lasuite déﬁnieparson premier terme u =0,7 et parla relationde récur-n 0
rence
u =2u −0,4 (n entiernaturel).n+1 n
1. Calculeru , u , u .1 2 3
2. Soit(v )lasuitedéﬁniepourtoutn entiernaturelparv =u −0,4.n n n
a. Calculer v .n
b. Montrerque v =2v .n+1 n
c. Endéduirelanaturedelasuite.
d. Exprimer v puisu enfonctionden.n n
PartieB
LarègledeTitius-Bode(connuevers1770)permetderetrouverapproximativement
ladistanceauSoleildelaplupartdesplanètesdusystèmesolaire.
Pour cela, on prend comme unité la distance de la Terre au Soleil qui vaut environ
150 millions dekilomètres. Cette unité estappelée unité astronomique (u.a.).Ainsi
71u.a.≈15×10 km.
Enécrituremoderne,laloideTitius-Bodes’exprimeparlaformulesuivante:
nu =0,4+0,3×2n
oùpouruneplanètedonnéeu estladistanceauSoleildecetteplanète(enu.a.)etn
n estlerangdelaplanète,déﬁnidansletableauci-dessous:
Polynésie 3 juin2004BaccalauréatLspécialité
Planète Vénus Terre Mars (Cérès)* Jupiter Saturne Uranus
Rangn 0 1 2 3 4 5 6
(*) La lacune observée entre les orbites de Mars et Jupiter fut comblée en 1801 par la découverte de la
planèteCérès,puisplustarddemilliersd’astéroïdes.
1. Recopieretcompléterletableausuivant:
n 0 1 2 3 4 5 6
un
2. a. Calculer la distance approximative au Soleil de la planète Uranus (on
donneralerésultatenmillionsdekilomètres).
b. Calculerlerangdelaplanètedontladistanceapproximativeausoleilest
780millionsdekilomètres.Dequelleplanètes’agit-il?
Polynésie 4 juin2004BaccalauréatLspécialité
Annexedel’exercice1
Àrendreaveclacopie
Tableaudevaleursdelafonction f àcompléter
point A B C D K L M
3 9
x 1 2 4 5 3
2 2
14 26
f(x)
3 9
Représentationgraphiquedelafonction f
6
5µ ¶
3 K
f
2
4
3
2
1
→−

0
→−0 1 2 3 4 5O E F G Hı
Polynésie 5 juin2004

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