Sujet du bac L 2004: Mathématique

Lecandidattraiteraobligatoirementtroisexercices
OBLIGATOIREMENTL’exercice1etl’exercice2
AUCHOIX:L’exercice3oul’exercice4.
L’usagedelacalculatriceestautorisépourcetteépreuve.
[BaccalauréatLAntilles-Guyanejuin2004\
EXERCICE 1OBLIGATOIRE 7points
La figure ci-contre est le
schémad’uncricdevoiture.
Celui-ciestconstituéd’unlo- y
sange déformable OABC, le
BpointOétantlepointd’appui
surlesoletlepointBétantle M
pointparlequellavoitureest C I A
soulevée.
Lorsqu’on tourne la mani-
velle M, les écrous A et C se
rapprochent(ous’éloignent), O x
ce qui fait monter (ou des-
cendre) l’appui B, selon l’axe
(Oy).
Ondonne:OA=OC=AB=BC=25cm
Dans le repère orthonormal (Oxy) d’unité un centimètre, x désigne l’abscisse duA
pointAetvariede0à25.
L’ordonnéedupointBestnotée y .Pourx =0,ona: y =50etpourx =25ona:B A B A
y =0.B
Pourquelecricfonctionnecorrectement,ilfautx >6et y >10.A B
1. a. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle AIB, trouver uneq
2relationentrex et y etvérifierque y =2 625−x .A B B A
b. En utilisant la relation trouvée à la question a, calculer la valeur de xA
lorsque y estégalà10,puislavaleurdey lorsquex estégalà6.B B A
2. Onconsidèrelafonction f définiepourxappartenantàl’intervalle[0;25]par
p
2f(x)=2 625−x .
p
Onadmettraqu’unefonctiondetype u oùu estunefonctiondéfinieetpo-
sitivesurunintervalle,alemêmesensdevariationqueu surcetintervalle.
′a. Déterminer la dérivéeu de la fonction u définie sur l’intervalle [0 ; 25]
2 ′paru(x)=625−x .Étudierlesignedeu (x)quandx varieentre0et25.
Endéduirelesensdevariationdelafonctionu surl’intervalle[0;25].
b. Endéduireletableaudevariationsdelafonction f.Onpréciseralesva-
leursdelafonctionauxbornesdel’intervalle.
c. Tracerlacourbe(Γ)représentativedelafonction f dansunrepèreortho-
normal d’unité graphique 0,5 cm. On précisera sur la courbe les points
d’abscisses18,20,22et24.
3. a. Calculer l’augmentation q de la hauteur y quand l’abscisse x passe1 B A
de24 à 22. Vérifier ce résultat sur la courbe (Γ)en faisant apparaître les
constructionseffectuées.
b. Évaluer,àl’aidedugraphiqueenfaisantapparaîtrelestraitsdeconstruc-
tion utiles, l’augmentation q de y lorsque x passe de 22 à 20, puis2 B A
l’augmentation q dey lorsquex passede20à18.2 B ATerminaleLspécialité
c. Lorsqu’on actionne la manivelle de façon régulière, peut-on direque la
voituremonteàunevitesseconstante?Justifiezvotreréponse.
EXERCICE OBLIGATOIRE 7points
Deuxamies,AgnèsetBénédictegagnent2000€àunjeu.Ellespartagentcettesomme
endeuxpartségales.
PartieA
Agnès,quiadéjà3000€ d’économies,ajouteses1000€ àseséconomiesetplacele
totalsurunlivretd’épargnequirapporte3,5%d’intérêtsparan(intérêtscomposés).
Onnoteu lecapitalplacé(u =4000), u lecapitalacquisauboutd’unan,etplus0 0 1
généralementu lecapitalacquisauboutden années.n
1. Calculeru etu .1 2
2. Exprimeru enfonctiondeu .Endéduirelanaturedelasuite(u ).n+1 n n
3. Exprimerletermegénéralu enfonctionden.n
4. Quelseralecapitalobtenuauboutde6ans?(Onarrondiralerésultataucen-
time).
PartieB
Bénédicte choisit un compte épargne dont le taux mensuel est de 0,25% et choisit
d’yajouter àla findechaque moisla somme de50 €.Les intérêts acquissont capi-
talisésàlafindechaquemois.
On note y le capital placé (y = 1 000), y le capital acquis au bout d’un mois, et0 0 1
plusgénéralement y lecapitalacquisauboutden mois.n
1. Calculery ety (onarrondiralerésultataucentime).Vérifierquey =1 157,89.1 2 3
2. Pourtoutentiernatureln,exprimerv enfonctiondev .n+1 n
3. On considère la suite (w ) définie pour tout entier naturel n par w = v +n n n
20 000.
a. Démontrerquelasuite(w )estunesuitegéométriquederaison1,002 5.n
Préciserw etexprimerletermegénéralw enfonctionden.Endéduiren n
v enfonctionden.n
b. Calculer le capital acquispar Bénédicte auboutde6 ans(soit 72 mois).
(Onarrondiralerésultataucentime).
EXERCICE 3 AU CHOIX 6points
LecélèbretableaudeDAVID:«LesacredeNapoléon»immortalisel’évènement du
2décembre1804.
Surlapériodeconsidérée,touteslesannéesdontlemillésimeestmultiplede4sont
bissextiles,saufl’année1900.
Considéronsle2décembre1804commelejourderang1.
1. a. Combieny-a-t-ild’années dontlemillésime estcomprisentre1805 (in-
clus)et2003(inclus)?
b. Parmicesannées,montrerqu’ilya48annéesbissextiles.
er2. Prouverquelerangdu1 janvier2004est72 714.
3. Déterminerl’entier acomprisentre0et6inclustelque:72 714≡a (modulo
7).
er4. Sachantquele1 janvier2004étaitunjeudi,recopieretcompléterletableau
suivantoùk désigneunnombreentier:
Rangdujour 7k 7k+1 7k+2 7k+3 7k+4 7k+5 7k+6
Jourdelasemaine
Antilles-Guyane 2 juin2004TerminaleLspécialité
er5. Queljourdelasemaine,NapoléonI a-t-ilétésacréempereur?
EXERCICE 4 AU CHOIX 6points
Unmaladesouffrantd’anginevaconsultersonmédecin.L’agentinfectieuxa4chances
sur5d’êtreunstreptocoque.Lemédecindécidedefairedesanalysesenlaboratoire.
Lestechniquesdelaboratoirecomportentdesrisquesd’erreur:
• Lestreptocoque,lorsqu’ilestprésent,a1chancesur5denepasêtredécelé.
• Le streptocoque, lorsqu’il est absent, a 1 chance sur 10 d’être décelé par er-
reur.
OnnoteSl’évènement:«Lestreptocoqueestprésent»etDl’évènement«Lestrep-
tocoqueestdécelé».
PartieA
Danscettepartie,lesrésultatsserontdonnéssousformedefractionsirréductibles.
Lemédecinfaitprocéderàunepremièreanalyse.
1. Traduire les données à l’aide d’un arbre pondéré. Calculer la probabilité de
l’évènement :«Lestreptocoqueestprésentetestdécelé».
33
2. MontrerquelaprobabilitéP(D)quelestreptocoquesoitdéceléestégaleà .
50
3. Lestreptocoqueestdécelé.Quelleestlaprobabilitépourqu’ilsoitprésent?
PartieB
Dans cette partie, les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies
aumillième.
Pourconfirmersondiagnostic,lemédecinfaitanalyserquatreautresprélèvements
faitssurcepatient.
(Lesquatretestssontréalisésdanslesmêmesconditionsetsontindépendants).
Quelleestlaprobabilitépourquelestreptocoquesoitdécelédansexactementtrois
testsparmilesquatre?
Antilles-Guyane 3 juin2004