Sujet du bac ES 2009: Mathématique Obligatoire

[BaccalauréatESFrance19juin2009\
EXERCICE 1 4points
Commun touslescandidats
Letableauci-dessousdonnel’évolutiondel’indicedesprixdeventedesappartementsanciensà
Parisauquatrièmetrimestredesannées2000à2007.
Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Rangdel’année:x 0 1 2 3 4 5 6 7i
Indice: y 100 108,5 120,7 134,9 154,8 176,4 193,5 213,6i
Source:INSEE
1. Calculerlepourcentaged’augmentationdecetindicedel’année2000àl’année2007.¡ ¢
2. Construire le nuage de points M x ; y dans le plan (P) muni d’un repère orthogonali i i
définidelamanièresuivante:
• sur l’axe des abscisses, onplacera 0 à l’origine et on choisira 2 cmpour représenter
uneannée.
• surl’axedesordonnées,onplacera100àl’origineetonchoisira1cmpourreprésen-
ter10unités.
3. DéterminerlescoordonnéesdupointmoyenGdecenuage.PlacerlepointGdansleplan
(P).
4. L’alluredecenuagepermetdepenserqu’unajustementaffineestadapté.
a. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite (d) d’ajustement de
y en x,obtenueparlaméthodedesmoindrescarrés.Lescoefficientsserontarrondis
aucentième.
b. Tracerladroite(d)dansleplan(P).
5. En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les deux années suivantes, es-
timer l’indice duprix devente des appartements anciens deParis auquatrième trimestre
2009. Justifierlaréponse.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−2 ; 5], décroissante sur chacun des in-
tervalles[−2; 0]et[2; 5]etcroissantesurl’intervalle[0;2].
′Onnote f safonctiondérivéesurl’intervalle[−2; 5].
Lacourbe(Γ)représentativedelafonction f esttracéeenannexe1dansleplanmunid’unrepère
orthogonal.EllepasseparlespointsA(−2; 9),B(0; 4),C(1;4,5),D(2;5)etE(4; 0).
EnchacundespointsBetD.latangenteàlacourbe(Γ)estparallèleàl’axedesabscisses.
OnnoteFlepointdecoordonnées(3;6).
Ladroite(CF)estlatangenteàlacourbe(Γ)aupointC.
1. Àl’aidedesinformationsprécédentesetdel’annexe1,précisersansjustifier:
′ ′a. lesvaleursde f(0), f (1)et f (2).
′b. lesignede f (x)suivantlesvaleursdunombreréelx del’intervalle[−2; 5].
c. lesignede f(x)suivantlesvaleursdunombreréelx del’intervalle[−2; 5].
2. Onconsidèrelafonction g définieparg(x)=ln(f(x))oùlndésignelafonctionlogarithme
népérien.
a. Expliquerpourquoilafonction g estdéfiniesurl’intervalle[−2; 4[.BaccalauréatES A.P.M.E.P.
b. Calculerg(−2), g(0)etg(2).
c. Préciser,enlejustifiant,lesensdevariationsdelafonction g surl’intervalle[−2; 4[.
d. Déterminerlalimitedelafonctiong lorsquex tendvers4.
Interprétercerésultatpourlareprésentationgraphiquedelafonction g.
e. Dresserletableaudevariationsdelafonctiong.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Legrapheci-dessousreprésentelepland’uneville.
LesommetAdésignel’emplacement desservicestechniques.
Les sommets B, C, D, E, F et G désignent les emplacements dejardins publics. Une arête repré-
sentel’avenuereliantdeuxemplacementsetestpondéréeparlenombredefeuxtricoloressitués
surletrajet.
B 1 D
2 2 4 5
3A 1 C 3 6 G
3 5 2
E 1 F
LespartiesIetIIsontindépendantes.
PartieI
Ons’intéresseaugraphenonpondéré.
1. Répondresansjustificationauxquatrequestionssuivantes:
a. Cegrapheest-ilconnexe?
b. Cegrapheest-ilcomplet?
c. Cegrapheadmet-ilunechaîneeulérienne?
d. Cegrapheadmet-iluncycleeulérien?
2. Déterminer,enjustifiant,lenombrechromatiquedecegraphe.
PartieII
Ons’intéresseaugraphepondéré.
ProposeruntrajetcomportantunminimumdefeuxtricoloresreliantAàG.
Laréponseserajustifiéeparunalgorithme.
EXERCICE 3 5points
Commun touslescandidats
Unesalledejeucomportedeuxconsolesidentiquesproposantlemêmejeu.
Unjourl’unedesdeuxestdéréglée.
Lesjoueursnepeuventpassavoirlaquelledesdeuxestdéréglée.
France 2 19juin2009BaccalauréatES A.P.M.E.P.
1. Cejour-là,unjoueurchoisitauhasardl’unedesdeuxconsolesetiljoueunepartiesurcette
console.
Onnote:
D l’évènement «lejoueurchoisitlaconsoledéréglée»etD l’évènement contraire;
G l’évènement «lejoueurgagnelapartie»etG l’évènement contraire.
Cettesituationaléatoireestmodéliséeparl’arbreincompletsuivant,danslequelfigurecer-
tainesprobabilités.
0,7 G
D0,5
G
0,2 G
D
G
Ainsi,0,7estlaprobabilitéquelejoueurgagnesachantqu’ilachoisiuneconsoledéréglée.
a. Reproduirecetarbresurlacopieetlecompléter.
b. Calculerlaprobabilitédel’évènement«lejoueurchoisitlaconsoledérégléeetilgagne».
c. Calculerlaprobabilitédel’évènement «lejoueurchoisitlaconsolenondérégléeetil
gagne».
d. Montrerquelaprobabilitéquelejoueurgagneestégaleà0,45.
e. Calculerlaprobabilitéquelejoueuraitchoisitlaconsoledérégléesachantqu’ilaga-
gné.
2. Troisfoissuccessivement etdefaçonindépendante, unjoueur choisitauhasardl’une des
deuxconsolesetjoueunepartie.
Calculerlaprobabilitédel’évènement«lejoueurgagneexactementdeuxfois».Lerésultat
seradonnésousformedécimalearrondieaumillième.
EXERCICE 4 6points
Commun touslescandidats
PartieA:Étuded’unefonction
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle[0,5; 8]par
−0,5xf(x)=20(x−1)e .
′Onnote f lafonctiondérivéedelafonction f surl’intervalle[0,5; 8]
1. a. Démontrerquepourtoutnombreréelx del’intervalle[0,5; 8]
′ −0,5xf (x)=10(−x+3)e
′b. Étudier le signe de la fonction f sur l’intervalle [0,5; 8] et en déduire le tableau de
variationsdelafonction f.
2. Construire la courbe représentative (C) de la fonction f dans le plan muni d’un repère³ ´
→− →−
orthogonal O, ı ,  .
On prendra pour unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm, sur l’axe des or-
données.
−40(x+1)
3. Justifier que la fonction F définie sur l’intervalle [0,5; 8] par F(x)= est une
0,5xe
primitivedelafonction f surl’intervalle[0,5; 8].
France 3 19juin2009BaccalauréatES A.P.M.E.P.
Z5
4. Calculerlavaleurexactedel’intégraleI= f(x)dx.
1,5
PartieB:Applicationéconomique
Uneentrepriseproduitsurcommandedesbicyclettespourdesmunicipalités.
Laproductionmensuellepeutvarierde50à800bicyclettes.
Lebénéficemensuelréaliséparcetteproductionpeutêtremodéliséparlafonction f delapartie
Adelafaçonsuivante:
si,unmoisdonné,onproduitx centainesdebicyclettes,alors f(x)modéliselebénéfice,exprimé
enmilliersd’euros,réaliséparl’entreprisecemêmemois.
Danslasuitedel’exercice,onutilisecemodèle.
1. a. Vérifierquesil’entrepriseproduit220bicyclettesunmoisdonné,alorselleréalisece
mois-làunbénéficede7989euros.
b. Déterminerlebénéficeréaliséparuneproductionde408bicyclettesunmoisdonné.
2. Pourcettequestion,toutetracederecherchemêmenonaboutieserapriseencompte
Répondreauxquestions suivantesenutilisant lesrésultatsdelapartieAetlemodèlepré-
cédent.
Justifierchaqueréponse.
a. Combien, pour un mois donné, l’entreprise doit-elle produireauminimum de bicy-
clettespournepastravailleràperte?
b. Combien,pourunmoisdonné,l’entreprisedoit-elleproduiredebicyclettespourréa-
liserunbénéficemaximum. Préciseralorscebénéficeàl’europrès.
c. Combien,pourunmoisdonné,l’entreprisedoit-elleproduiredebicyclettespourréa-
liserunbénéficesupérieurà8000euros?
France 4 19juin2009BaccalauréatES A.P.M.E.P.
Annexe1
y
A
9
8
7
F
6
5 C
D
B
4
3
2
1
xE
O
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
France 5 19juin2009
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