Sujet du bac ES 2008: Mathématique Spécialité

[BaccalauréatESLaRéunionjuin2008\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
PourchacunedesquatrepropositionsdeceQCM,uneetuneseuledesaffirmations
estexacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspon-
dantàlaréponsechoisie.Aucunejustificationn’estdemandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L’ab-
sencede réponsen’enlève etne rapporteaucunpoint. Sile totalestnégatif lanote de
l’exerciceestramenéeà0.
Chacune des quatre propositions concerne une fonction f définie et dérivable sur
l’intervalle [−5; 6],quiadmetdesprimitives surcetintervalle etdontondonneci-
dessousletableaudevariations:
x −5 −3 2 4 6
3 4 0
f(x)
1 −2
1. Si a etb sontdeuxréelstelsque2<a<b<4,alors:
a. f(a)> f(b)
b. f(a)< f(b)
c. onnepeutpascomparer f(a)et f(b).
2. Lenombredesolutionsdel’équation f(x)=1est:
a. 1
b. 2
c. 3Z5
3. a. f(x)dx<0
4Z5
b. f(x)dx<0
4 Z5
c. aveclesdonnées,onnepeutpasconnaîtrelesignede f(x)dx
4
1
4. Si g estlafonctiondéfiniesur[−5; 6]par g(x)= x−1,alors:
2
a. l’équation f(x)=g(x)n’apasdesolution
b. l’équation f(x)=g(x)auneuniquesolution
c. on ne peut pas se prononcer sur le nombre de solutions de l’équation
f(x)=g(x)
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialitéBaccalauréatES
On a relevé lors de six années consécutives le chiffre d’affaire d’une entreprise de
prêt-à-porterdeluxecrééeen2000.Lesrésultatssontregroupésdansletableausui-
vant:
Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Rangdel’année x 1 2 3 4 5 6i
Chiffre d’affaire y 160 000 220 000 290 000 390 000 540 000 730 000i
(eneuros)
1. Pouri=1,2,...,5onpose z =lny .i i
a. Recopier et compléter le tableausuivant (donner une valeur approchée
−2arrondieà10 prèsdechacundesrésultats):
x 1 2 3 4 5 6i
z =lnyi i
b. Représentersurdupapiermillimétrélenuagedepointsassociéàlasérie
statistique (x ; z ) dans un repère orthonormal du plan (unité 2 cm eni i
commençantàlagraduation10surl’axedesordonnées).
c. Déterminer,àl’aidedelacalculatrice,uneéquationdeladroited’ajuste-
mentaffinedez en x parlaméthodedesmoindrescarrés(onobtiendra
une équation dela forme z=ax+b où les coefficients a et b seront ar-
−2rondisà10 près).
d. Déduiredecequiprécèdeune expression de y enfonction de x sous la
axforme y=ke ,oùk estunréelàdétermineret a lecoefficienttrouvéà
laquestionprécédente(lecoefficientk seraarrondiàl’unité).
2. OnnoteC lafonctiondéfiniesurl’intervalle[0;∞[par:
0,3x
C(x)=120 000e .
a. Résoudreparlecalcull’inéquationC(x)>2 000 000.
b. On admet que C(x) représente le chiffre d’affaire de l’entreprise pour
l’annéederang x .i
Quelchiffred’affairepeut-onprévoirpourl’année 2008(onarrondirale
résultataumillierd’eurosprès)?
Àpartirdequelleannéelechiffred’affairedépassera-t-il2millionsd’eu-
ros?
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantchoisil’enseignementdespécialité
Les joueurs d’un club de football sont partagés en deux équipes : une équipe A et
uneéquipeB.
L’entraîneur change la composition de ces équipes après chacun des matchs, sui-
vantlesperformancesdesjoueurs.
Une étude statistique menée au cours des saisons précédentes permet d’estimer
que:
– siunjoueurfaitpartiedel’équipeA,laprobabilitéqu’ilrestedanscetteéquipe
pourlematchsuivantest0,6;
– si un joueur fait partie de l’équipe B, la probabilité qu’il change d’équipe le
matchsuivantest0,2.
LaRéunion 2 juin2008BaccalauréatES
1. Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste G de som-
metsAetBetdonnersamatricedetransition.
2. Pourunentiernatureln donné,onnoteP =(a b )lamatricelignedécri-n n n
vantl’étatprobabilistelorsdumatchn.
Paulvient d’arriverdansleclubetlaprobabilité a qu’iljouedansl’équipe A0
pourlematchdepréparation(match0)est0,1.
L’étatprobabilisteinitialestdoncP =(0,1 0,9).0
a. VérifierqueP =(0,24 0,76)etcalculerP .1 2
b. QuelleestlaprobabilitéquePauljouedansl’équipe Alorsdudeuxième
matchdechampionnat (match2)? (ondonnera la valeur approchéedu
−2résultatarrondieà10 près)
3. Onadmet que, pour tout entier naturel n : a =0,4a +0,2. On pose,pourn+1 n
1
toutentiernatureln:v =a − .n n 3
a. Démontrerquelasuite(v )estgéométriquederaison0,4etdepremiern
−7
terme v = .0
30
b. Exprimer v enfonctionden etendéduireque,pourtoutentiernatureln
1 nn:a = (1−0,7×0,4 )n
3
c. Déduiredecequiprécèdelalimitedelasuite(a ).Quelestl’étatstablen
dugrapheG?
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
Lesmembresd’unjeunegroupedemusiqueprésententunechansonlorsd’uneau-
dition.Danslemorceauqu’ils jouent,ilyaunpassagedélicatsur lequelilsnesont
pastoutàfaitaupoint.
Eneffet:
– leguitaristejoueparfaitementcemorceautroisfoissurquatre,
– lachanteuseéchouedans50%descassileguitaristesetrompeet,sinon,elle
commetdeserreursunefoissurcinq.
Lesautresmusiciensmaîtrisentparfaitementleurpartition.
OnappelleGl’évènement «leguitaristejoueparfaitementlemorceau».
OnappelleCl’évènement«lachanteuseinterprètelemorceausansfaired’erreur».
1. Dessinerunarbredeprobabilitésquimodéliselasituationdécriteprécédem-
ment.
2. a. Déterminer la probabilité P(G∩C) que le groupe interprète la chanson
sanserreur.
b. Calculerlaprobabilitéqu’un,etunseul,desmembresdugroupesetrompe.
c. Déterminerlaprobabilitéquelachanteuseinterprètesanserreurlemor-
ceau.
−33. Calculer P (G) (on arrondira le résultat à 10 près) et interpréter concrète-C
mentcerésultat.
4. Onadmetquelaprobabilitéqu’aucundesmembresdugroupenecommette
d’erreurest0,6.Legroupeparticipeavecsachansonàtroisconcours,lestrois
prestations était indépendantes les unes des autres. Quelle est la probabilité
qu’ilsjouentparfaitementàaumoinsl’undestroisconcours?
LaRéunion 3 juin2008BaccalauréatES
EXERCICE 4 6points
Communàtouslescandidats
PartieA
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle[0;1 000]par
f(x)=89,5−8,9ln(x+0,3)
etdontondonnela courbereprésentative dansunrepèreorthogonalduplan(voir
AnnexefigureI).
1. Démontrerquelafonction f estdécroissantesurl’intervalle[0;1 000].
2. Montrer que résoudre l’inéquation f(x)645 revient à résoudre l’inéquation
ln(x+0,3)>5.Résoudrecetteinéquation.
3. a. Démontrerquelafonction g définiesurl’intervalle[0;1 000]par:
g(x)=98,4x−8,9(x+0,3)ln(x+0,3)
estuneprimitivede f surl’intervalle [0;1 000].
b. On rappelle que la valeur moyenne m de f sur un intervalle [a ; b] (a
et b étant deux éléments distincts de l’ensemble de définition de f, estZ
1
donnéepar:m= f(x)dx.
bb−a a
Déterminer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [200; 800] (on don-
neraunevaleurapprochéedecerésultatarrondiàl’unité).
PartieB
Uneéoliennedoitêtreinstalléeàproximitéd’unvillagedontleshabitantss’inquiètent
de la nuisance sonore occasionnée. L’entreprise chargée de la fabrication de l’éo-
liennetransmetdonclesrenseignementssuivants:
– aucentredel’éolienne(centredurotor),leniveausonoreestd’environ100dé-
cibels(dB).
– lorsqu’on s’éloigne de x mètres du centre de l’éolienne, le niveau sonore est
donné,endB,par f(x)(définiàlapartieA).
1. En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer à quelle distance du
centre de l’éolienne on doit être situé pour percevoir un niveau sonore infé-
rieurà40dB.
2. Dans cettequestion, toute tracede recherche,mêmeincomplète ou d’initiative
mêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation.
Le centre du rotor de l’éolienne est situé à 70 m de hauteur (voir le schéma
donnéenannexe).
Unsonomètre(quimesurelevolumesonore)estposésurlesolàunecertaine
distancedupied del’éolienne. Àquelledistancedupieddel’éolienne doit-t-
onleplacer pour queleniveau sonoreenregistrésoitégalà45dB(lerésultat
seraarrondiàl’unité)?Expliquerladémarchesuivie.
LaRéunion 4 juin2008BaccalauréatES
Annexe1-Exercice4
Courbereprésentativedefy
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
O x100 200 300 400 500 600 700 800 900
−10
Sonomètre
LaRéunion 5 juin2008
70m