Sujet du bac ES 2008: Mathématique Spécialité
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Sujet du bac 2008, Terminale ES, Afrique
Durée:3heures
[BaccalauréatESCentresétrangers17juin2008\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
Une association organise chaque année un séjour qui s’adresse à des adultes han-
dicapés.Àsacréationen1997,dixadulteshandicapéssontpartisdurantcinqjours.
Ainsi,ondiraqu’en1997lenombrede«journéesparticipant»estde5×10soit50.
Letableausuivantdonnelenombrede«journéesparticipant»de1997à2004.L’an-
née1997alerang0.
Années 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rangdel’année: x 0 1 2 3 4 5 6 7i
Nombre de « journées 50 130 200 240 250 280 300 320
participant»: yi
1. Calculerlepourcentaged’augmentationdunombrede«journéesparticipant»
de1997à2000,puisceluide2000à2001
2. Cesdonnéessontreprésentéesparlenuagedepointsci-joint.
350
300
250
200
150
100
50
0
0 2 4 6 8
On considère qu’un ajustement affine n’est pas pertinent. L’allure du nuage
suggère de chercher un ajustement de y en x dela forme y=kln(ax+b) où
yi
100k, a etb sonttroisnombresréels.Pourcelaonpose:z =e .i
Danscettequestionlescalcul.seronteffectuésàlacalculatrice.Aucunejus-
tificationn’estdemandée.Lesrésultatsserontarrondisaucentième.
a. Recopieretcompléterletableausuivant:
rrrrrrrrBaccalauréatES
Rangdel’année: x 0 1 2 3 4 5 6 7i
Nombre de « journées 50 130 200 240 250 280 300 320
participant»: yi
yi
100z =e 1,65i
b. Représenterlenuagedepointsassociéàlasérie(x ; z )dansunrepèrei i
orthononnal(unités:1cm)
c. Donner les coordonnées du point moyen et placer ce point sur le gra-
phiqueprécédent.
d. Déterminer une équation de la droite (D) d’ajustement affine de z en
x par la méthode des moindres carrés. Représenter la droite (D) sur le
graphiqueprécédent
yi
100e. Sachantque z =e déterminerl’expressionde y enfonctiondex.i
3. Onsupposequel’évolutiondunombrede«journéesparticipant»sepoursuit
dansunfuturprochcselonlemodèleprécédent.
a. Estimer, à l’unité près, quel serait le nombre de «journées participant»
prévupourl’année2007.
b. En réalité, le nombre de «journées participant» en 2007 a été de 390.
Si l’écart en valeur absolue entre la valeur estimée et la valeur réelle est
inférieureà10%delavaleurréelle,onconsidèrequelemodèleestper-
tinent.Est-celecas?
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Unmagasin desportpropose àlalocation desskisdepiste, dessnowboardset des
skisderandonnée.
Son matériel est constitué de 50% deskis depiste, le reste étant également réparti
entrelessnowboardsetlesskisderandonnée.
Aprèslajournéedelocation,lematérielestcontrôléetéventuellement réparé.
Ilaétéconstatéquelamoitiédesskisdepiste,deuxtiersdessnowboardsetlequart
desskisderandonnéenécessitentuneréparation.
Chaque paire de ski et chaque snowboard est répertorié sur une fiche qui précise
sonsuivi.Ontireauhasardunefiche.Onconsidèrelesévènementssuivants:
Sp:«Laficheestcelled’unepairedeskisdepiste»;
Sn:«Laficheestcelled’unsnowboard»;
Sr:«Laficheestcelled’unepairedeskisderandonnée»;
R:«Lematérielnécessiteuneréparation»;Restsonévènementcontraire.
Touslesrésultatsdesquatrepremièresquestionsserontdonnéssousformedefractions
irréductibles.
1. Traduire toutes les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré (on ne
demandeaucuneexplication).
2. Calculerlaprobabilitéquelafichetiréeconcerneunepairedeskisdepistene
nécessitantpasuneréparation.
3. Calculer laprobabilité que la fichetirée concernedumatériel ne nécessitant
pasuneréparation.
4. Lafichetiréeconcernedumatérielayantnécessitéuneréparation.
Quelleestlaprobabilitéquecetteficheconcerneunsnowboard?
Centresétrangers 2 17juin2008BaccalauréatES
5. Lespairesdeskisdepiste,derandonnée,ainsiquelessnowboardssontloués
30€pourlajournée.
Quelle est l’espérance de gain sur le matériel loué sachant que chaque répa-
rationcoûte20€auloueur?
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Dansunvillage,l’association degymnastique volontairepossédait50adhérentsen
2000.
Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chaque année elle reçoit 18 nou-
vellesadhésionsetque85%desanciensinscritsrenouvellentleuradhésion.
Onnote a lenombred’adhérentspourl’année2000+n;n
onadonca =50et a =0,85a +18pourtoutentiernatureln.0 n+1 n
1. Soitlasuite(u )définieparu =a −120pourtoutn>0.n n n
estunesuitegéométriquedontonpréciseralaa. Montrerquelasuite(u )n
raisonetlepremierterme.
nb. Démontrerque,pourtoutentiernatureln, a =120−70×0,85 .n
c. Déterminerlalimitedelasuite a quandn tendversl’infini.Interpré-( )n
tercerésultat.
2. Chaquesemaine,60%desadhérentss’inscriventpouruneheuredegymnas-
tiqueet40%pourdeuxheuresdegymnastique.
a. Exprimerenfonctionden lenombred’heuresdegymnastiqueàprevoir
parsemainepourl’an2000+n.
b. Uneséancedegymnastiquedureuneheureetestlimitéeà20personnes.
On veut déterminer àpartir de quelle année l’association devra prévoir
plus de 8 séances par semaine. Démontrer qu’alors n doit vérifier l’in-
néquation98×0,85 <8.
Résoudrecetteinéquationetconclure.
Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’ini-
tiativemêmenonfructueuseserapriseencomptedansl’évaluation.
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
Cet exerciceest un Q. C. M. (Questionnaireà Choix Multiples). Chaque question ad-
met une seule réponse exacte : a, b ou c. Pour chacune des questions indiquer sur la
copielenumérodelaquestionetlalettrecorrespondantàlaréponsechoisie.Aucune
justificationn’estdemandée.
Barème : une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25
point. L’absencede réponsene rapporteni n’enlève de point. Si le total des points est
négatif,lanoteglobaleattribuéeàl’exerciceestramenéeà0.
Centresétrangers 3 17juin2008BaccalauréatES
QUESTIONS RÉPONSES
D’uneannéesurl’autre,unproduitperd10%desavaleur. a. 7années
Q1 Leproduitaperduaumoins70%desavaleurinitialeau b. 11années
boutde: c. 12années
8Dansuneexpériencealéatoire,laprobabilitéd’un a. (0,4)
8Q2 évènementAestégaleà0,4.Onrépètehuitfoiscette b. (0,6)
8expériencedefaçonindépendante.Laprobabilitéque c. 1−(0,6)
l’évènementAseréaliseaumoinsunefoisestégaleà:
a. F(0)=1
F estlaprimitivequis’annuleen1delafonction f définie 4Q3 2 b. F(0)=−surRpar f(x)=x +1.Ona 3
4
c. F(0)=
3
3x a. 0f estlafonctiondéfiniesurRpar f(x)=e .Onappelle(C)
Q4 b. 1lacourbereprésentativede f dansunrepère.Latangente
c. 3(T )àlacourbe(C)aupointAd’abscisse0apourcoefficient
directeur:
Pour toutes les questions suivantes, on donne ci-dessous le tableau de variations
d’unefonction f définieetdérivablesur]−∞;−3[.Onappelle(C)sacourberepré-
sentativedansunrepère.
x −∞ −3 −2 2 3
+∞ +∞
0f(x) 0
−2
QUESTIONS RÉPONSES
a. f(0)<0
Q5 Onpeutaffirmerque: b. f(0)=0
c. f(0)>0
a. x=0
Lacourbe(C)admetpourasymptoteladroite
Q6 b. x=3
d’équation:
c. y=3
a. est−∞
g estlafonctiondéfinieparg(x)=ln[f(x)]sur
Q7 b. est+∞
l’intervalle]−∞;−3[.Lalimitedeg en−∞:
c. n’existepas
a. strictement décrois-
Q8 F désigneuneprimitivede f sur]−∞; 3[.F est: santesur]−∞; 3[
b. strictement décrois-
santesur]−3; 2[
c. strictementcroissante
sur]−2; 3[
EXERCICE 4 6points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelafonction f définiesur]−1;+∞[par
f(x)=−3x+4+8ln(x+1).
Onnote(C)sacourbereprésentativedansunrepèreorthonormal.
1. a. Calculer la limite de f en−1. Donner l’interprétation graphique du ré-
sultatobtenu.
Centresétrangers 4 17juin2008BaccalauréatES
ln(x+1)
b. Déterminerlalimitede f en+∞(onpourrautiliser lim =0).
x→+∞ x
5−3x
′ ′2. a. Onnote f ladérivéede f sur]−1;+∞[.Démontrerque f (x)= .
x+1
′b. Étudierlesignede f etdresserletableaudevariationsde f.Ondonnera
unevaleurarrondieaudixièmedumaximumde f sur]−1;+∞[.· ·
5
3. On se place dans l’intervalle ;+∞ . Démontrer que dans cet intervalle,
3
l’équation f(x)=0 admet une solution unique notée x . Donner une valeur0
−2approchéedex à10 près.0
4. a. Vér
