Sujet du bac ES 2004: Mathématique Obligatoire

BaccalauréatESLaRéunionjuin2004
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
1.Lafonction f représentée(graphique1)par
lacourbe(C)estdéfiniesur]0;+∞[par 3
f(x)=(ax+b)lnx
2
2oùa etb sontdeuxconstantesquel’oncalcu-
leradanslasuitedecettequestion.
1
Sur le graphique 1 sont placés les points 1
→−A(1;0),B(2;0)etE(0;−1). 
A B0Les points A et B appartiennent à la courbe 0
→−(C),ladroite(AE)esttangenteàlacourbe(C)
ı 1 2 3
enA. -1
′ −1a.Donnerparlecturegraphique f(2)et f (1). E
b.Endéduirequea etb sontsolutionsdusys- C? -2a+b = 1 −2tème 0 1 2 3 42a+b = 0
graphique1c.Déterminera etb.
3 (C )1
2
2
2.SoitG uneprimitivedelafonction f repré- (C )2
sentéeparlacourbe(C)dugraphique1. 1
1
Parmilestroiscourbes(C ), (C ), (C )propo-1 2 3 →−
sées sur le graphique 2,quelle est la seule qui? ? 0
→− →− 0peutreprésenterG danslerepère O, ı ,  ? →−
1 2 3ıJustifiervotreréponse.
-1
−1
-2 (C )3−2
0 1 2 3 4
graphique2
3.Onadmetàpartirdemaintenantque f estdéfiniesur[0;+∞[par
f(x)=2lnx−xlnx.
Lebutdelaquestionestdecalculeruneintégrale.
SoitF lafonctiondéfiniesur[0;+∞[par
? !
1 1 15
2 2F(x)= 2x− x lnx−2x+ x + .
2 4 4
a. Démontrer que la fonction F est la primitive de f qui prend la valeur 2 pour
x=1. Z2
b. Calculer f(x)dx. Donner une interprétation géométrique de cette inté-
1
grale.
EXERCICE 2(pourlescandidatsn’ayantpasfaitlaspécialité) 5points
Lorsd’unekermesse,dansunstandsontdisposéestroisroues.Chaqueroueestdi-Baccalauréatjuin2004 BaccalauréatSjuin2004
visée en douze secteurs de même aire. Une roue étant lancée, elle s’arrête aléatoi-
rementfaceàlaflèchesurunseulsecteur.Onadmettraquetouslessecteursontla
mêmeprobabilitéd’être«tirés».
Pour participer, un joueur choisit l’une des troisroues, acquitte la mise correspon-
dantàlarouechoisie,puislancecetteroue.
Silesecteur«tiré»estgrisé,lejoueurreçoitlegaincorrespondantàlarouechoisie.
R1 R2 R3
mise:1,50€ mise:1€ mise:1€
gain:8€ gain:4€ gain:2€
1. Le gain algébrique du joueur, noté g, est le gain de la loterie diminué de la
mise.
a. Pour unjoueur qui a choisi la roue R1, calculer la probabilitédegagner
6,50 €, puis celle de perdre1,50 €. En déduire le gain algébrique moyen
espérépartoutjoueurquifaitlechoixdecetteroue.
b. Unjoueurdit«aveclaroueR2,lejeuestéquitable».Qu’enpensez-vous?
1
2. Les organisateurs dela kermesse remarquent que desjoueurs ontchoisi la
6
1
roueR1, laroueR2etlesautreslaroueR3.
3
Oninterrogeauhasardunepersonnequiaparticipéaujeu.
Soitlesévènements:
A:«LapersonneachoisilaroueR1»,
B:«LapersonneachoisilaroueR2»,
C:«LapersonneachoisilaroueR3»,
G:«Lapersonneagagné»(c’est-à-direqu’unsecteurgriséaété«tiré»).
a. Donner la probabilité des évènements A et B. En déduire la probabilité
del’évènement C.
b. Préciserlesvaleursde:p G), p G)etp(G).A B
c. Calculerlaprobabilitédel’évènement:«LapersonneachoisilaroueR2
et elle a gagné» (on pourra traduire les données l’aide d’un arbre pon-
déré).
d. Démontrer que la probabilité de l’évènement : «La personne a gagné»
23
estégaleà .
72
e. Sachant que la personne n’a pas gagné, quelle est la probabilité qu’elle
aitjouéaveclaroueR3?
EXERCICE 2(pourlescandidatsayantfaitlaspécialité) 5points
LaRéunion 2Baccalauréatjuin2004 BaccalauréatSjuin2004
PartieA
Onnote G le graphe représenté ci-dessous et M sa matriceobtenue en prenant les
3sommetsdansl’ordrealphabétique.LamatriceM estégalementdonnée.
gc
f
eb h
a d
 
10 8 11 10 12 5 13 4 8 2 7 3 5 2 4 3  11 7 8 6 12 3 10 5  10 3 6 2 11 1 4 83M = 12 5 12 11 8 8 13 3  5 2 3 1 8 0 2 6  13 4 10 4 13 2 6 9
4 3 5 8 3 6 9 0
Dire,enjustifiantvotreréponse,silesaffirmationssuivantessontvraiesoufausses:
1. L’ordredugrapheestégalauplusgranddesdegrésdessommets.
2. LegrapheGcontientunsous-graphecompletd’ordre3.
3. Les sommets de G peuvent être coloriés avec trois couleurs sans que deux
sommetsadjacentssoientdemêmecouleur.
4. Il est possible de parcourir ce graphe en passant une fois et une seule par
chaquearête.
5. Ilexisteaumoinsunchemindelongueur3quireliechaquesommetàchacun
desseptautressommetsdugraphe.
6. Il y a 72 chemins de longueur 3 qui relient le sommet e à chacun des huit
sommetsdugraphe.
PartieB
Le graphe précédent représente un réseau de lignes d’autobus. Les sommets du
graphedésignentlesarrêts.Lespoidsdesarêtessontlesduréesdeparcours,enmi-
nutes,entredeuxarrêts(correspondancescomprises).
LaRéunion 3Baccalauréatjuin2004 BaccalauréatSjuin2004
7 gc
5 6 116
20 f11
7 4
eb h
3 16 3 9
17a d
Déterminer,àl’aided’unalgorithme,laduréeminimumpourallerdel’arrêtaàl’ar-
rêthetdonnercetrajet.
EXERCICE 3COMMUN À TOUS LES CANDIDATS 4points
erLetableausuivantdonneenFrancelenombredecentenairesau1 janvier des
annéesindiquées.
Année 1950 1960 1970 1980 1990 1998 2003
Rangx del’année 0 10 20 30 40 48 53i
Nombrey decentenaires 200 977 1122 1545 3760 6840 12871i
1. a. Quelestlepourcentaged’augmentationdunombredecentenairesentre
lepremierjanvier1950etlepremierjanvier1980?
b. Peut-onaffirmerquelenombredecentenairesaaugmentéenmoyenne
deprèsde10%paranentrelepremierjanvier1990etlepremierjanvier
2003?
2. Le nuage de points de la série statistique (x , y ) est représenté ci-dessous,i i
ainsi que la droite D d’ajustement affine de y en x obtenue par la méthode
desmoindrescarrés.
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0 20 40 60 80
LaRéunion 4
rangdel’année
nombredecentenairesBaccalauréatjuin2004 BaccalauréatSjuin2004
Enutilisantlegraphiquepréciserlenombredecentenairesquel’onpeut,avec
cet ajustement, prévoir au premier janvier 2010. Ce nombre semble-t-il réa-
listeparrapportauxvaleursobservées?
3. L’allure du nuage de points invite à chercher un ajustement exponentiel. À
cettefin,onposez=ln(y ).i
−4a. Recopier et compléter le tableau où les nombres seront arrondisà 10
près.
Rangx del’année 0 10 20 30 40 48 53i
z =ln(y )i i
b. Enutilisantlacalculatrice,déterminer,parlaméthodedesmoindrescar-
rés, une équation de la droite d’ajustement affine de z en x (les coeffi-
−4cientsserontarrondisà10 près).
c. Endéduireuneestimationdunombredecentenairesquel’onpeut,avec
cetajustementexponentiel, prévoiraupremierjanvier2010.
EXERCICE 4COMMUN À TOUS LES CANDIDATS 6points
Uneentreprisedécide,pourlapromotiondenouveauxproduits,demenerunecam-
pagnepublicitaire.Elleenvisageladistributiond’undépliantauxconsommateurs.
Lebutdel’exerciceestdedéterminer lenombred’envoispermettant àl’entreprise
deréaliserunbénéficemaximal.
1. SoitlafonctionR définiesur[0;+∞[par
−0,1x+0,1R(x)=xe .
′ −0,1x+0,1 ′a. JustifierqueR (x)=(1−0,1x)e ,oùR désignelafonctiondérivée
deR.
b. Étudier les variations de R, puis dresser son tableau de variations. On
admettraque lim R(x)=0.
x→+∞
2. Une étude préalable a montré que le montant total, en milliers d’euros, des
recettesattenduesàl’issuedecettecampagnepeutêtreestiméparR(x),pour
x∈[1; 15],oùx représentelenombred’envoienmilliers.
a. Représenter R sur l’intervalle [1; 15] (unités graphiques : 1 cm pour un
millierd’envoissurl’axedesabscisseset1cmpourunmillierd’eurossur
l’axedesordonnées).
b. Lecoûttotalenmilliersd’eurosdecettecampagneestC(x)=0,4+0,3x
pourx∈[1; 15].
Représentercettefonctiondanslemêmerepèrequeceluiutilisépourla
fonctionR.
3. Le bénéfice envisagé à l’issue de cette campagne publicitaire est donné par
B(x)=R(x)−C(x)pourtoutréelx de[1;15].
a. Donner, avec la seule précision que l’on peut obtenir par lecture gra-
phique,lesvaleursdex quiassurentunbénéficepositif.
′ ′b. On nomme B la fonction dérivée de la fonction B. Établir que B (x)=
−0,1x+0,1(1−0,1x)e −0,3.
′′ ′ ′′c. Soit B la fonction dérivée de B . Voici la courbe représentative de B
tellequ’elleapparaîtàl’écrand’unecalculatricegraphique.
L’axe des abscisses est gradué de 1 en 1 depuis 0 jusqu’à 15. L’axe des
ordonnéesestgraduéde0,1en0,1de−0,2à0,1.
LaRéunion 5Baccalauréatjuin2004 BaccalauréatSjuin2004
′′Donner par lecture graphique le signe de B puis dresser le tableau de
′variationsdeB sur[1;15].
′d. En déduire