Mathématiques 2009 Scientifique Baccalauréat général
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Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques 2009. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2009 sur Bankexam.fr.
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Pondichéry, Bac Avril 2009 - Corrigé 1. Exercice 1 2 1x 2 %x2 A1a. Onaf(x)1xe1 ´2. Or,limx#¥d’après les résultats de croissances comparées, on sait que et x|#¥ x e 2 X x lim 0. Ainsi, par compositionlim20. X x X|#¥x|#¥ e e De plus, comme la fonction inverse tend vers 0 en l’infinie, on a par produitlimf(x) 0. x|#¥ A1b.le tableau de variations de la fonction dérivable f (produit de fonctions dérivables) sur son Dressons domaine[0;¥[. 2 22 2 %x2%x%x2x% On a'(x)11e%2x e1e1%2x1e1%2x1#2x. Comme une exponentielle est toujours positive, f’ est du signe du trinôme1-2x² de racines 1 21 2 1et% 1%(hors du domaine). 2 22 2 On obtient alors x 0+¥2 2 f ’(x)0 +0 -1 2 2 ef (x) 2ց ր1 0 1 2 2 2 f admet bien pour maximumeen . 2 2 A2. Comme;a], l’aire du domaine cherchée est donnée parla fonction est continue et positive sur [0 2 %a a 1%x1%x1%e a a2 2 F(a)1f(x)dx%1 %2xe dx1 %e1u.a. ∫0∫0 0 2u2 2 u'e 1 Ainsi,limF(a). a|#¥ 2 n#1 B.Posonsu1f(x)dx. ∫n n 2 B1a.D’après la partie A, f décroit sur[1;¥[Ì[ ;#¥[donc par définitionn£x£n#1⇒f(n#1)£f(x)£f(n). 2 n#1n#1 En passant cet encadrement à l’intégrale, on obtient(n#1)dx£u£f(n)dxÛf(n#1)£u£f(n) ∫n∫n n n indep.de x indep.de x b puisque pour tout réel k indépendant de x, on a :kdx k(b%a!. ∫a B1b.le calcul précédent, D’aprèsf(n2)£u£f(n#1) donc(n#2)£u£f(n#1)£u£f(n): la suite est n#1n#1n donc décroissante. B1c.Commeuest l’intégrale d’une fonction positive sur[n;n1], elle est positive (minorée par 0). Comme en n plus elle est décroissante, elle converge vers un réel L positif. On sait que0£u£f(n): commelimf(n) 0, d’après le théorème des gendarmes, la suite tend vers 0. n n|#¥
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n#1#¥ Attention : l’argumentlimnlimn#1 donclimf(x)dx f(x)dx10 estfaux (contre exemple avec f(x) = ∫ ∫ n|¥ |¥n n|#¥n#¥ x). chasles n%1 1 2n n B2a.On au1u#u#..#u1f#f#..f1fet on reconnaît bien F(n). ∑0∫1∫n%1∫0 k0 1n k10 1 B2b.A2, on a trouvé que EnlimF(a): ce tableau le confirme et il semble que F(n) soit proche (attention a|#¥ 2 aux précisions du tableur) de sa limite dès n supérieur à 5. 2. Exercice 2 (non spé) Soient A(3-i), B(1-3i) et C(-1-i). c%b%2#2i2%2#i 1b.On a, avec les notations habituelles :1 1i. a%b2#2i i(2%2i) c%bpc%b BC Par conséquentargBA,BC1arg(i)1 et1|i|11: le triangle ABC est donc rectangle ( ! a%b2a%b AB isocèle en B. 1c.On aOA1| 3%i|110etOB1| 1%3i|110donc A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon10. p p i 2 2a.La rotation de centre M(m) et d’anglea pour écriture complexe'%m1e(z%m!cad'1m#i z%m. 2 2b.Comme N(n) est l’image de A(a-i), on an m#i3%i%mÛn11#3i#m%im. %i# % zA#zN1 1m4 2i1i m 3.Soit Q(q) le milieu de [AN] : on aq1(3%i#1#3i#m%im!1 #1 #2#i. 2 22 22 4a.Supposons que9cad queOM110. Comme OM est le module de m, par définition de l’écriture exponentielle, en notantqson argument on obtient iq m110e. 1%i m(1%i!m(1%i!10 iq 4b.a vu que Onq#2#i doncq%2%i1 1e etpar conséquent on trouve 2 22 1%i10 2 iq q%2%i1e11015. 22 1 Lorsque M décrit, Q décrira le cercle de centre D(2+i) et de rayon5. 3. Exercice 2 (spé) Dans la semaine… si si !! 4. Exercice 3 Soient A(1 ;1 ;0), B(2 ;0 ;3), C(0 ;-2 ;5) et D(1 ;-5 ;5). Proposition 1 :FAUX. L’ensemble des points M(x ;y ;z) tels que 2x-y+4 = 0 est un plan, pas une droite. Proposition 2 :FAUX. Par définition du barycentre, pour tout point M du plan on aA#MB#2MC14MG. 5 D. PINEL, Site Mathemitec :http://mathemitec.free.fr/index.phpTerminale SPondichéry, Avril 2009de Bac Sujets
Ainsi, M’ est défini parM'14MG: on vient donc de définir une homothétie… En effet, d’après la relation de Chasles, on aG#GM'14MGÛGM'1 %3GM: homothétie de centre G et de rapport -3. Proposition 3 :FAUX. Ces points sont coplanaires s’ils appartiennent tous à un même plan d’équation ax + by + cz + d = 0 donc s’ils existent a, b c et d non tous nuls tels que : 1a#1b#0c#d10a#b#d10a#b#d10 2a#0b#3c#d102a#3c#d10L2L:%2b#3c%d10 2 1 Û Û 0a%2b#5c#d10 2b#5c#d10 2b#5c#d10 1a%5b#5c#d10a%5b#5c#d10L%L: 6%b5#c10 4 1 . a#b#d10a#b#d10a10 %2b#3c%d10%2b#3c%d10b10 Û ÛÛ L#L: 8c10c10c10 3 2 L%3L:%4c#3d10d10d10 4 2 # 6#6#150 3 Proposition 4 :au plan P : 2x + 2y + z + 3 = 0 :VRAI. Déterminons la distance ded1 15, 4#4#1 3 rayon de la sphère… 5. Exercice 4 1a.La répétition de 3 épreuves identiques et indépendantes donne un schéma de Bernoulli. Comme X compte le 1 nombre d’apparitions de la face 6 (succès), X suit une loiB3,(dé bien équilibré). 6 1 1b.D’après le cours, E(X) =3´ 10.5. 6 2 1 3 1 515 1c.Toujours d’après le cours, on ap(X12!1 1. 3 2 6 66 2a.1 15 > D’après le calcul précédent, on ap(D∩A!1p(D!p(A!1p(X12!1. D 3 2 26 1 > Si Y désigne la v.a. qui compte le nombre de 6, sur 3 lancés, avec le dé truqué, Y suit une loi binomialeB3, 3 2 1 3 1 21 16 2 doncp(Y2!11 1. Par conséquent,D A1 121. 3p(∩!p(D!pD(A!p(Y! 2 33 39 29 2b.formant une partition de l’univers, d’après la formule des probabilités totales on aD et 1 157 p A1p A∩D#p A∩D1 #1...1. ( !( !( !3 9 2´6 48 p D∩A 1/ 948 16 2c.On cherche cette fois cip D1 11 1. A( ! p(A!7 / 4863 21 n 5 3a.; avec leà ne faire aucun 6 : avec le dé équilibré, en n jets la probabilité est deL’évènement consiste n 6 n 2 truqué elle est de. 3 6 D. PINEL, Site Mathemitec :http://mathemitec.free.fr/index.phpTerminale SPondichéry, Avril 2009de Bac Sujets
