Mathématiques 2006 Sciences Economiques et Sociales Baccalauréat général
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[BaccalauréatES2006\
L’intégraledeseptembre2005
àjuin2006
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles-Guyaneseptembre2005 ..................... 3
Franceseptembre2005 ............................... 8
AmériqueduSudnovembre2005 ................... 13
Nouvelle-Calédonienovembre2004 .................18
Pondichéry31mars2003 ............................23
AmériqueduNord31mai2006 ......................28
Liban31mai2006 ....................................33
Antilles-Guyanejuin2006 ........................... 38
Asiejuin2006 ........................................44
Centresétrangersjuin2006 ..........................50
Francejuin2006 ......................................55
LaRéunionjuin2006 .................................61
Polynésiejuin2006 ...................................702[BaccalauréatESAntilles-Guyaneseptembre2005\
EXERCICE 1 5points
Sur lafigureci-dessous, onatracélacourbereprésentativeC d’unefonction f dé-
rivablesur
−
3
2
;+∞
.
• LespointsJ
−
3
2
;−
3
2
,K(−1; 0),A(1;e)etB(2;2)sontdespointsdeC ;
• LatangenteàC enAestparallèleàl’axedesabscisses.
• LatangenteàC enBpasseparT(4;0).
• Ladroited’équation y=1estasymptoteàC en+∞.
• La fonction f est strictement croissante sur
−
3
2
; 1
et strictement décrois-
santesur[1;+∞[.
O
K
A
J
B
T
C
− →
ı
− →
1. a. Donner les valeurs de f
−
3
2
, f(−1), f(1), f(2) ainsi que la limite de f
en+∞.
b. Donner,enjustifiantvosréponses.,lesnombres f
′
(1)et f
′
(2).
2. Soitg lafonctiondéfinieparg(x)=ln[f(x)]etΓsareprésentationgraphique.
a. Déterminer l’intervalle I de définition de g. Calculer les limites de g en
−1eten+∞.
EndéduirelesasymptotesàlacourbeΓenprécisantuneéquationpour
chacuned’elles.
b. Exprimer g
′
(x) à l’aide de f(x) et f
′
(x). En déduire le tableau de varia-
tionsdeg.
c. Déterminer g(2) et g
′
(2), puis une équation de la tangente àΓ au point
B
′
d’abscisse2.
EXERCICE 2 5points
Dans cet exercice, A et B étant des évènements, A désigne l’évènement contraire de
l’évènementA,P(A)laprobabilitédeAetPB
(A)laprobabilitédeAsachantqueBest
réalisé.
Uneentreprisefabriquedesappareilsengrandnombre.Uneétudestatistiqueaper-
misdeconstaterque10%desappareilsfabriquéssontdéfectueux.
L’entreprisedécidedemettreenplaceuntestdecontrôledecesappareilsavantleurBaccalauréatES septembre2005àjuin2006
miseenvente.Cecontrôledétecteetélimine 80%desappareilsdéfectueux,maisil
élimine également à tort 10% des appareils non défectueux. Les appareils non éli-
minéssontalorsmisenvente.
On prend au hasard un appareil fabriqué et on note D l’évènement «l’appareil est
défectueux»etVl’évènement «l’appareilestmisenvente».
1. Construireunarbrepondérérendantcomptedecettesituation.
2. a. CalculerP(V∩D)etP
V∩D
.
En déduire que la probabilité qu’un appareil fabriqué soit mis en vente
aprèscontrôleest0,83.
b. Calculer la probabilité qu’un appareil mis en vente après contrôle soit
défectueux.
c. VérifierquePV
(D)≈0.24×P(D).
Rédiger une phrase comparant les probabilités pour un acheteur d’ac-
quérir un appareil défectueux suivant que l’entreprise applique ou non
letestdecontrôle.
3. Uneentreprisedécided’appliquer lecontrôle,toutencontinuantàfabriquer
le même nombred’appareils. Elle fabriquaitetvendaitune quantité q
0 d’ap-
pareilsauprixp
0
.
Lespourcentagesdemandésserontarrondisàl’unité.
a. Quelle est, en fonction de q
0
la nouvelle quantité q
1 d’appareils mis en
venteaprèscontrôle?
b. Dequelpourcentagelaquantitévenduea-t-ellediminué?
c. Queldoitêtrelenouveauprixp
1
(enfonctiondep
0 pourquel’entreprise
maintiennesonchiffred’affaires?
Quelestalorslepourcentaged’augmentationduprixdevente?
EXERCICE 3 10points
Un médicament est injecté par voie intraveineuse. Dans les heures qui suivent, la
substanceestéliminéeparlesreins.Laquantitéq
i présentedanslesang(q
i
enmil-
ligrammes) àl’instant t
i
(t
i
,enheures) aétémesurée pardesprisesdesang toutes
lesdeuxheures.
t
i
(heures) 0 2 4 6 8
q
i
(mg) 9,9 7,5 5,5 3,9 3
PARTIEA
Modélisationparunefonctionaffine
Lenuagedepointsassociéàlasérie
t
i
; q
i
estreprésentédanslerepèreorthogonal
ci-dessous.
1. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite D d’ajuste-
mentaffinedeq ent parlaméthodedesmoindrescarrés(coefficientsarron-
disà10
−2
);tracerladroiteDsurlafigure1.
2. En supposant que cemodèle reste valablependant 12 heures, quelle estima-
tion obtient-on de la quantité demédicament présente dansle sang au bout
de12heures?Qu’enpensez-vous?
PARTIEBRecherched’unmodélemieuxadapté
1. Représenter dans le repère semi-logarithmique ci-dessous le nuage de point
associéàlasérie
t
i
; q
i
.
Quel type d’ajustement l’allure de cette représentation permet-elle d’envisa-
ger?
2. Onposey
i =lnq
i
.Recopieretcompléterletableauci-dessous(valeursarron-
diesaucentième).
Antilles-Guyane 4 septembre2005BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
0
5
10
0 5 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
t (heures)
q (mg)
FIG. 1–
t
i
(heures) 0 2 4 6 8
y
i
(mg)
3. Déterminer à l’aide dela calculatrice une équation dela droited’ajustement
affinede y en t par la méthode desmoindres carrés(coefficients arrondisau
centième).
4. Montrerquel’expressiondeq enfonctiondet obtenueàpartirdecetajuste-
mentestdelaformeq=ae
−bt
oùa estarrondiàl’unitéetb aucentième.
5. Étudierlesensdevariationdelafonction f définiesur[0;15]par:
f(t)=10e
−0,15t
.
TracersacourbereprésentativeCsurlafigure1.
6. Onsupposequecenouveaumodèlerestevalablependant12heures.Calculer
à 10
−1
près la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12
heures.Placerlepointcorrespondantsurlegraphique.
PARTIEC
1. Calculer
f(t+1)−f (t)
f(t)
. Interpréter le résultat par une phrase concernant le
pourcentagedevariationdelaquantitédemédicamentprésentedanslesang.
2. Lemédicamentresteefficacetantquelaquantité présentedanslesangreste
supérieureà2mg.
Déterminergraphiquement,à1heureprèspardéfaut,laduréed’efficacitéde
l’injection.
3. Calculer,àundixièmedemilligramme près,laquantitémoyennedemédica-
mentprésentedanslesangpendantles10heuresquisuiventl’injection.
Antilles-Guyane 5 septembre2005BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 5 10 t (heures)
q (mg)
FIG. 2–
EXERCICE 4 5points
Enseignementdespécialité
Sur unmarchéoùseulunproduitAétaitprésent, unnouveau produitBestmisen
venteàpartirdel’année2003.Uneenquêteamontréque:
• la probabilité qu’un client de A, une année donnée, reste fidèle à A l’année
suivanteest0,67;
• la probabilité qu’un client de B, une année donnée, choisisse A l’année sui-
vanteest0,27.
Onsuppose quela clientèle totale pour les deuxproduits nechangepas.Onprend
unclientauhasardl’année(2002+n).
Notations:
– OnappelleAl’état«acheterleproduitA»;
– OnappelleBl’état«acheterleproduitB»;
– Onnotean
laprobabilitéquececlientachèteApendantl’année(2002+n).
– Onnotebn
laprobabilitéquececlientachèteBpendantl’année(2002+n).
– Onadonca
0=1etb
0=0.
1. Traduirelesdonnéesdel’énoncéparungrapheprobabilistedesommetsAet
B.
LamatriceMdecegrapheprobabiliste,enconsidérantlessommetsdugraphe
dansl’ordreApuisB,estdonc:
M=
0,67 0,33
0,27 0,73
2. OnappellePn=(an bn
)lamatricedécrivantl’étatprobabilistedelaclientèle
l’année(2002+n)
Antilles-Guyane 6 septembre2005BaccalauréatES septembre2005àjuin2006
a. Donnerlarelationmatricielleliantl’étatP
1 àl’étatP
0
.CalculerP
1 ettra-
duirecerésultatparunephrase.
b. Calculerettraduiredemêmel’étatP
2
.
3. a. ExprimerPn+1 enfonctiondePn
.Endéduiteque,pourtoutentiern,on
a:
