Mathématiques 1998 Scientifique Baccalauréat général

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28 janvier 2008

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Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques 1998. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1998 sur Bankexam.fr.

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Polyn´esie1998Se´rieS Enonc´e

EXERCICE 1 ( 5 points)

Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B con-tient 3 boules rouges et deux boules noires. On tire au hasard une boule de l’urne A : •si elle est noire, on la place dans l’urne B, •.uejudetra’´ec,onlinons On tire au hasard ensuite une boule de l’urne B. Onconside`reles´ev´en´ementssuivants: R1”eg”:aLoblued´eiretoutreseA N1L”:iteluobadeAer´eeire”stno R2aLob”:rie´luteeguo”Bedertse N2r´tideeeab”Lleou”e:eBtsonri 1.(a)Calculerlesprobabilite´sdese´ve´nementsR1etN1. (b)Calculerlesprobabilit´esdese´v´enements”R2sachant R1” et ” 27 R2sachant N1d´En”.qureuiedaborpalede´tilibeR2est de. 50 (c) Calculerla probabilite deN2. 2.Onr´epe`teneivius,Aedelflsiope´’edtncee´pe´rervueboud’unragee(ti dutiraged’unebouledeBdanslesmˆemesconditionsinitialesindique´es ci-dessus),ensupposantlesdiﬀ´erentese´preuvesinde´pendantes.

Quelnombreminimumd’essaisdoit-oneﬀectuerpourquelaprobabilit´e d’obteniraumoinsunefoisuneboulerougedel’urneBsoitsup´erieure a`0,99?

EXERCICE 2( 5 points)

−→−→ Leplancomplexeestmunid’unrep`ereorthonormal(O;vu ,ein´t)u( graphique 2 cm ).On note A le point d’aﬃxe 1 et B le point d’aﬃxe 3+ 2i. On appellefontii,qupp’acaliMtnitsidota`optuedeAnitcxﬃedta’lz, 0 associe le point M’ d’aﬃxezrpaeinﬁe´d z−1 + 2i 0 z= z−1 1. Calculerles aﬃxes des points O’ et B’, images respectives des points O et B parfles points A, O’, B et B’ dans le plan.. Placer 2. (a)Calculer, pour tout complexeziudot,1edrpel´eiﬀntred 0 (z−1) (z−1) (b)End´eduireque,pourtoutpointMdistinctdeA,ona: ³ ´³ ´ −→−−→π −→−→ AM×AM’ = 2 etu ,AM +u ,AM’ =+ 2kπ, k∈Z 2 3.De´montrerque,siMappartientaucercle(C) de centre A passant par 0 O,alorsM’appartient`auncercle(Ceertelt.)prEnci´erlseenec 0 rayon. Construire(C) et (C). −→−→ 4.(a)D´eterminerl’angle(u ,AB). (b)D´emontrerque,siMestunpointautrequeAdelademi-droite(d) d’origineA,passantparB,alorsM’appartient`aunedemi-droite quel’onpre´cisera. 5. Onappelle P le point d’intersection du cercle (C) et de la demi-droite (d). Placer son image P’ sur la ﬁgure.

PROBLEME(10 points) PartieA:R´esolutiond’unee´quationdiﬀe´rentielle 1.D´eterminerlesfonctionsd´eﬁniessurRidnoitauqe´’ledsleeltienerﬀ´solution (E1) :

00 0 y+ 2y+y= 0. (Remarque :arloipsorhsroemv,rgmaqeusetsdteitotenrmaiC´eso ﬁnduprobl`emepourdeplusamplesinformations). 2

2.Onconside`rel’´equationdiﬀ´erentielle(E2): 00 0 y+ 2y+y=x+ 3. (a)V´eriﬁerquelafonctionp´eﬁndriesuRparp(x) =x+1 est solution de (E2). (b)De´montrerqu’unefonctiongest solution de (E2) si, et seulement si, la fonctiong−pest solution de (E1). (c)De´duirede1.et2.(b)les solutions de (E2) (d)De´terminerlasolutionge´n´eralede(E2ﬁe:)uqvie´ir

0 g(0) = 1etg(0) = 2. ´ Partie B : Etude d’une fonctionfenesr´eperrboeutcevitat On appellefeﬁniond´nctilafolaeletvr’lniseru,+[0∞[ par : −x f(x) =x+ 1 +xe . On note (Cerepr´es)lacourbedneatitevfdnalsnumnalpee`perudi-orre thonormal (~~,,ıO()e´rgnutique2aphicm). 0 00 1. (a)fetfeldse´ir´veepsermi`ereetsecondese´dangirentecspvetintme 0 00 defc,laucel,roprutoutr´eelx,f(x) etf(x). 0 (b)Etudierlesensdevariationdelad´erive´ef. 0 (c)D´emontrerque,pourtoutre´elx,f(x)>0. (d) Calculerla limite defen +∞. (e) Dresserle tableau de variation de la fonctionf. 2.(a)D´emontrerqueladroite(D)nioatqu´ed’y=xest asymptote+ 1 a`(C(tisireontiladevepte)ce´rresiopalD) et (C). (b) Lacourbe (C)admetenunl`alarepaale`elnuAtnioptnegnate droite (D). De´terminerlescoordonn´eesdeA. 3.D´emontrerquel’e´quationdef(x) = 2 admet sur [0,+∞[ une unique solutionnote´eα0euqreﬁire´vsiup,< α <1. 4. (a)Construire la droite (DniA,t)elopinua´dﬁe2.(b), la courbe (C) etlatangenteenA`alacourbe(C). 3

(b)Donnerparlecturegraphiqueunevaleurapproch´eedeα.

PartieC:Recherched’uneapproximationde´cimaledeα

1.D´emontrerque,sur[0,+∞noitauqe’´,l[:f(xntaoi´2=)vautequi´equ`al’ : x e =x x e+ 1 2. Onappellehnoitﬁe´dsein’lrulancfora:intervalle[0,1]p x e h(x) =. x e+ 1 0 (a) Calculerh(xourtoutr´eelp)xr´etliearlseetni’avre[ell]1,0del tableau de variations de la fonctionh. (b)Ende´duireque,pourtoutr´eelxde [0 , 1],h(x)appartine`t[a,0 1]. 00 (c) Calculerh(x)lurpotuotee´rxedni’lreelutid];´e[0,1alleterv 0 sens de variations deh. (d)Ende´duireque,pourtoutr´eelxde [0 , 1], 1 0 06h(x)6 4 3.Ond´eﬁnitlasuite(un)n∈Npar : ½ u0= 0 un+1=h(un) pour tout entier natureln. (a)D´emontrerque,pourtoutentiernatureln,unaarpplletni’avreneitla`t [0 , 1]. (b)D´emontrerque,pourtoutentiernatureln, 1 |un+1−α|6|un−α| 4

(c)End´eduireque,pourtoutentiernatureln, µ ¶ n 1 |un+1−α|6 4

puis que la suite (un)n∈Nconverge versα. −6 (d)D´eterminerunentierptel queup0a1e`´echropparuelavenutios pre`sdeαlculatridedelacaa`a`’liae,toxpri-urespaenp,ecopor −6 mationde´cimaledeupQ.eu`rseo-eneptu0p`a1irdu´endrouep α?

Remarque :La questionA.1.Nous admet-n’est plus au programme. trons, pour traiter la suite de lapartie Asseleuq,(nEtaoiqu´el’densioutol1) −x sont les fonctionsx7→(Ax+B)ee´BttnateA(tean´esrscdestonleel)s.

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