Exercices du bac et traduction pour Xcas

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01 mars 2007

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151

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Français

Niveau: Secondaire, Lycée
Exercices du bac et traduction pour Xcas Renée De Graeve avec la participation de B. Parisse et G. Connan 14 mars 2007

affi hage

table des matières

??? mg

traduction pour xcas

exercices du bac

session ba

Voir

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Sommaire bac

Exercices du bac et traduction pour
Xcas
Renée De Graeve
avec la participation de B. Parisse et G. Connan
14 mars 2007Table des matières
I - Sujet 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II - Sujet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
III - Sujet 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV - Sujet 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
V - Sujet 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
VI - Sujet 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
VII - Sujet 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
VIII -Sujet 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
IX - Sujet 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
X - Sujet 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
XI - Sujet 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
XII - Sujet 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
XIII -Sujet 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
XIV -Sujet 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
XV - Sujet 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
XVI -Sujet 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
XVII S- ujet 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
XVIIIS-ujet 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
XIX -Sujet 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
XX - Sujet 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
XXI -Sujet 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1u(n+ 1)= u(n)+ a∗ n+ b
Trouver u(n) en fonction de n.
On exécute le ﬁchier qui utilise le tableur (formel) et des valeurs particulières, le graphe et un programme
que voici :
− ∗
En faisant ce programme itératif on remarque qu’à la k-ième étape on ajoute à la valeur précedente et car
u(n)= u(n− 1)+ a∗(n− 1)+ b.
On ajoute à chaque étape donc, au bout de étapes on aura ajouté , et on ajoute à la k-ième étape donc, au
bout de étapes on aura ajouté
On tape pour avoir la valeur factoriser de (1+ 2+...+(n− 1)) :
et on obtient :
On écrit donc la fonction :
Voir aussi qui recherche A,B,C pour que :
2u(n)= A∗ n + B∗ n+C en résolvant le système linéaire d’inconnues A,B,C :
u(0)= C,
u(1)= A+ B+C,
u(2)= 4∗ A+ 2∗ B+C
On a :
u(1) = u(0)+ 0+ b
u(2) = u(1)+ a+ b
u(3) = u(2)+ 2∗ a+ b
...
u(n) = u(n− 1)+(n− 1)∗ a+ b
en ajoutant membre à membre on obtient :
u(n)= u(0)+(1+ 2+...(n− 1))∗ a+ n∗ b
donc :
u(n)= u(0)+ n∗(n− 1)∗ a/2+ n∗ b
2
v
e
b
t
u
)
n
;
A
}
=(1
r
a
+
e
u
l
b
u
u(n,u0,a,b)
a
:=u0+n*(n-1)*a/2+
(n
n*
{
b
l
a
=
l
n
(
=
v
n
a
Xcas
l
n
d?monstration
,
La
1*a+2*a+...+(n-1)
b.
+.
+
))*
(k-1)*a
:
(
o
k
v
b
i
1
n
)
)
a
u
0
0
;
l
f
}
o
v
b
(k-1)*a
r

(

k
(
:
,
=
0
1
n*b
;
,
k
*a

+2
n-
..+
1))
-1
<
a
=
)
n
=
;
l
k

+
l
+
a
)
;
{
f
v
(
a
=
l
0
n*(n-1)/2
r
:
t
=
r
n
u
o
;
r
a
m
:
I
u
-
;
n
a
Sujet

1
r
a.
uDans le plan 4 points O,A,B,C et un cercle E de centre O. À tout point M sur E on
associe N tel que :
−→ −→ −→ −→
MN = a∗ MA+ b∗ MB+ c∗ MC
où a,b,c sont des réels donnés. Déterminer le lieu de N lorsque M décrit E.
On exécute la session ou on tape :
−
∗
−
∗
∗ − ∗ − ∗ −
En déplacant le curseur on déplace sur le cercle et on voit décrire le lieu.
La commande de nous donne l’équation du lieu, par exemple :
– pour l’équation du lieu est :
qui est le cercle translaté de dans la translation de vecteur .
On tape si :
et sont alors confondus.
– pour est confondu avec le barycentre des points A,B,C pondérés par
a,b,c.
On tape si :
et sont alors confondus.
– pour l’équation du lieu est :
qui est l’homothétique de dans l’homothétie de entre et de rapport .
On tape si et :
Mh :=afﬁchage(homothetie(G,1-(a+b+c),M),quadrant4); et sont alors confondus.
Soit un point de et soient et déﬁnis par :
−→ −→ −→ −→ −→ −→−→ −→
OP= a∗ OA+ b∗ OB+ c∗ OC et MN = a∗ MA+ b∗ MB+ c∗ MC
−→ −→ −→ −→ −→
alors, MN =(a+ b+ c)∗ MO+ a∗ 0A+ b∗ OB+ c∗ OC donc :
−→ −→ −→
MN =(a+ b+ c)∗ MO+ OP
−−→ −→
– Supposons a+ b+ c= 0, alors MN = OP.
−→
Donc N se déduit de M dans la translation de vecteur OP.
3
)
sla
G

N
Mt
x
(P)
r
xe
nt
fi
B
),
)
,M
m
ti
d
on
g
(af
[B
0
t
,
(
0
n
)
m
;
℄
E
)
:
e

2
=
i
P

℄
;segment(0,P)
re
;
a
Mh

=
+
:
M
N
a
℄
p

(
,
=
b
Xcas
,
(
a
=
[
(

Mt
Xcas
w
!=1
h

;

u
A
(
!=0
h

G
a.
uad
2
,[
Sujet
A,a
-
yc
b.

La
)
d?monstration
C
I
)
I
M
i
M
n
+
M
E
affixe(a*A+b*B+
f
1-(a+b+c)
t

G
)
N:
t
,
(
n
o
l
p
M
=
i
E
N=point(-3-4*i)
℄
.
:=[1,-3,2]
n
:
l
O
t
G
,
;
l
)
e
i
ant
P
_
2+
i
(
t
N
_
t
)
n
,
i
(
o
e
p
l
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e
:
a
C
N
;
i
)
3)
i
ra
2
,q
+
C,
4*x^2+40*x+4*y^2+
℄
32
℄
*y+
([
16
ent
0=

E
f
0
f
1
;
(
)
t
M
n
(
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+
o
M
p
(
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:
)
B
A
;
a
)
)
2
(
(
e
t
i
n
f
i
(
o
N
p
i
=
o
:
=
0
;
80=
t
+4
E
*y
t
160
e
2+
e
16*x^2+96*x+16*y^
e
A
:
;
;
℄
lieu
2
p
E
2
,
:=[2,-3,2]
3
.
,
0
1
t
[
e
M)
e
,
e
r
:
o
;
u
1
g
O
e
e
+

l
N
i

:=[1,-3,1]
2)
℄
dr
n
qua−→ −→
– Supposons a+ b+ c= 1, soit G le barycentre des points A,B,C pondérés par a,b,c. On a donc MG(a+ b+ c)= MN =
−−→ −→ −→ −−→
MG+ GN, soit GN = GM(1−(a+ b+ c))= 1 donc N se trouve en G si a+ b+ c= 1
−→
– Supposons a+ b+ c= 0 et a+ b+ c= 1 soit G le barycentre de A,B,C pondéré par a,b,c. On a donc MG(a+ b+ c)=
−→ −→ −→ −→ −→
MN = MG+GN, soit GN = GM(1−(a+b+c))= 1 donc N se déduit de M dans l’homotétie de centre G et de rapport
1−(a+ b+ c).
Application
– a=1,b=-3,c=2
– a=2,b=-3,c=2
– a=1,b=-3,c=1
4
66Soient un rectangle ABCD et un point M à l’intérieur de ce rectangle. Soit H la
projection de M sur CD.
Comment choisir M pour que la distance MA+ MB+ MH soit minimale ?
Voir , la ﬁgure est en niveau 1, pour la solution formelle, exécuter les commandes à partir du niveau 2.
A B
M K M1
B1
D C
Lorsque M se déplace sur une pa-
rallèle à CD la distance MA+ MB est minimum lorsque M se trouve en K sur la médiatrice de AB. En effet si M1 est le
symétrique de M par rapport à K on a KM =

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