Corrigé du baccalauréat STL juin Chimie de laboratoire et de procédés industriels

[CorrigédubaccalauréatSTLjuin2005\
Chimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels
Calculatriceautorisée 3heures
EXERCICE 1 5points
¡p ¢221. Δ?3 ?4?1?3?9?12??3? i 3 .
Δ?0:l’équation adoncdeuxsolutionscomplexesconjuguées:
p p
?3?i 3 ?3?i 3
et .
2 2
à !pµ ¶ 22 p3 3 9 3 12
22. a. Onajz j ? ? ? ? ? ? ?3)jz j? 3.1 1
2 2 4 4 4
à !p
p p ¡ ¢3 1 5π 5πOnpeutdoncécrirez ? 3 ? ?i ? 3 cos ?isin .1 6 62 2
p
b. Onpeutconstruirelalongueur 3enutilisantuntrianglerectangled’hy-
poténuse 2etdontl’un descôtésdel’angle droitmesure1.Ontraceen-
p 3
suite le cercle centré en O de rayon 3 et la droite d’équation x?? .
2
Comme z estleconjuguédez ,BestlesymétriquedeAautourdel’axe2 1
desabscisses.Voirplusbas.
¯ ¯ ¯ ¯p p r¯ ¯ ¯ ¯ ³p ´ q¡ ¢ 23 3 5 3¯ ¯ ¯ ¯ 2 35 25 3j j3. a. KA? z ?z ?¯? ? i?1¯?¯? ? i¯? ? ? ? ? ?1 4 2 2 4 4¯ ¯ ¯ ¯2 2 2 2
p
7.
Comme A et B sont symétriques autour de l’axe de des abscisses et quep
Kappartientàcetaxe,KB? 7.
¯ ¯ ¯ ¯p p r¯ ¯ ¯ ¯ q³ p ´2¡ ¢7 3 5 3¯ ¯ ¯ ¯ 25 3 25 3KD?jz ?z j?¯ ? i?1¯?¯ ? i¯? ? ? ? ? ? ?3 4 2 2 4 4¯ ¯ ¯ ¯2 2 2 2
p
7.
p
Conclusion KA=KB=KD? 7:les troispoints A,BetDappartiennentp
aucercleC decentreKetderayon 7.
à !p p
1 1 3 3 7 3 1
b. Ona (z ?z )? ? ? i? ? i ? ?2?1?z .1 3 4
2 2 2 2 2 2 2
DoncKestlemilieude[AD].
p
3 3
c. On a z ? z ?? ? i; donc z et z ont la même partie imaginaire2 1 2 3
2 2
etladroite(BD)estparallèle àl’axedesabscisses; commeladroite(AB)
est perpendiculaire à l’axe des abscisses, (AB) et (AD) sont des droites
perpendiculairesetletriangleABDestrectangleenB.BaccalauréatSTLChimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels
p2 2 3
A 1
1!?
v
K
!?O
?3 ?2 ?1 u 1 2 3 4
?1B D
?2
?3
EXERCICE 2 4points
1 (1,1,1)
1 2 (1,1,2)
3 (1,1,3)
1 (1,2,1)
1 2 2 (1,2,2)
3 (1,2,3)
1 (1,3,1)
3 2 (1,3,2)
3 (1,3,3)
1 (2,1,1)
1 2 (2,1,2)
3 (2,1,3)
1 (2,2,1)
1. 2 2 2 (2,2,2)
3 (2,2,3)
1 (2,3,1)
3 2 (2,3,2)
3 (2,3,3)
1 (3,1,1)
1 2 (3,1,2)
3 (3,1,3)
1 (3,2,1)
3 2 2 (3,2,2)
3 (3,2,3)
1 (3,3,1)
3 2 (3,3,2)
3 (3,3,3)
2. a. X2{?10; 3; 5; 15}
X?x ?10 3 5 15i
b. 15 6 3 3
p(X?x )i
27 27 27 27
France 2 juin2005
bbbbBaccalauréatSTLChimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels
15 6 3 3 ?150?18?15?45 ?72
c. E(X)??10? ?3? ?5? ?15? ? ? ?
27 27 27 27 27 27
8
? ??2,67(.
3
Surungrandnombredepartiesonperdraenmoyenne2,67(parpartie.
PROBLÈME 11points
PartieAÉtuded’unefonctionauxiliaireg
1. Lafonction g estdérivablesur]0;?1[etsurcetintervalle:
21 1?4x0g (x)? ?4x? .
x x
0 2Commex?0,lesignedeg (x)estceluidunumérateur1?4x ?(1?2x)(1?2x)
1 1
trinômequiestnégatifsaufentrelesracines? et .
2 2¸ ·
1 0Doncsur 0 ; ,g (x)?0:lafonctionestcroissante;
2¸ ·
1 0sur ;?1 ,g (x)?0:lafonctionestdécroissante.
2
¡ ¢ ¡ ¢1 21 1 1Enx? ,lafonctionprésenteunextremum(maximum), f ?ln ?2 ?2 2 22
1 31??ln2? ?1?? ?ln2.2 2
D’oùletableaudevariations:
1
x 0 2 ?1
0 ?g (x) ? 0
3? ?ln22
2. Comme le maximum est à peu près égal à?2,2, on peut en déduire que la
fonction g estnégativesur]0;?1[.
PartieBÉtuded’unefonction
lnx
1. a. Onsait que lim ?0et comme lim ?2x??1,on a lim f(x)?
x!?1 x!?1 x!?1x
?1.
lnx
b. Ona lim ??1,donc lim f(x)??1.
x!0 x!0x
lnx
2. a. Soitd lafonctiondéfiniesur]0;?1[pard(x)? f(x)?1?2x)?? .
x
lnx
On vient de voir que lim ?0, donc que limd(x)?0, ce qui signifie
x!0 x!0x
queladroiteD estasymptoteàlacourbeC auvoisinagedezéro.
b. Laposition dépenddusigneded(x),doncdeceluide?lnx carx?0.
d(x)?0 () ?lnx?0 () 0?lnx () 1?x d’aprèsla croissancede
lafonctionexponentielle.
Donc sur ]0 ; 1[, d(x)?0, c’est-à-dire que la courbeC est au dessus de
sonasymptoteD.
Onademêmed(x)?0 () x?1,doncsur]1;?1[,lacourbeC esten
dessousdesonasymptoteD.
France 3 juin2005BaccalauréatSTLChimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels
3. a. f estdérivablesur]0;?1[et:
à ! µ ¶1 2?x?1?lnx 1?lnx ?2x ?1?lnxx0f (x)??2? ??2? ? ?
2 2 2x x x
2lnx?2x ?1 g(x)
? .
2 2x x
2b. OnavuàlapartieAquesur]0;?1[, g(x)?0etcommex ?0,onadonc
0surcetintervalle f (x)?0:lafonction f estdécroissantesur]0;?1[de
plusl’infiniàmoinsl’infini.
4. Voirplusbas.
PartieCCalculd’uneaire
1. h estunefonctiondérivablesur]0;?1[et:
1 1 lnx0h (x)? ?2?(lnx)? .
2 x x
lnx
Donch estuneprimitivesur]0;?1[de .
x
2. a. Voirenbas.
b. On a vu que si x? 1, la courbeC est en dessous de son asymptoteD;
donc l’aire de la partie du plan comprise entre la droiteD, la courbeC
etlesdroitesd’équations x?1et x?eestégaleàl’intégrale
Z Z · ¸e e£ ¤ lnx 1 1 1e 2 2(1?2x)?f (x) ? ?[h(x)] ? (lne) ? (ln1) ? (u.a.).1x 2 2 21 1
2Comme1unitéd’aireestégaleà2?2?4cm ,onafinalement:
1
2A ?4? ?2cm .
2
France 4 juin2005x?e
BaccalauréatSTLChimiedelaboratoireetdeprocédésindustriels
C
4
3
2
1
D
1 2 3 4 5
?1
?2
?3
?4
?5
?6
France 5 juin2005