Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique
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Français
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2008
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Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique \ Génie électrotechnique, optique France 23 juin 2008 EXERCICE 1 5 points 1. ∆= (6p3)2?4?36=?1?36= (6i)2. L'équation a donc deux racines complexes : z1 = ?6p3+6i 2 =?3 p3+3i et z2 =?3 p3?3i. 2. a. |zA|2 = 27+9= 36= 62 ?|zA| = 6. On peut donc écrire zA = 6 ( ? p3 2 + 1 2 i ) = 6(cos 2pi3 + i sin 2pi3 ). Un argu- ment de zA est donc 2pi3 |zB|2 = 27+9= 36= 62 ?|zB| = 6. Alors zB = 6 ( ? p3 2 ? 1 2 i ) = 6(cos ?2pi3 + i sin ?2pi3 ). Un argument de zB est donc ?2pi3 b. D'après la question précédente zA = 6e? pi3 . c. Voir la figure plus bas. 3. a. AB = |zB? zA| = 6. AC = |zC? zA| = ? ??3p3?3i??=p27+9 = 6. Comme A et B sont symétriques autour de (Ou), CA = CB et finalement CA = CB = BA = 6 : le triangle ABC est équilatéral.
- zaei pi2
- cos5x ?
- asymptote horizontale
- axe des abscisses
- calcul d'aire
- baccalauréat sti
- pi3
- génie électronique
Durée:4heures
[CorrigédubaccalauréatSTIGénieélectronique\
Génieélectrotechnique,optique
France23juin2008
EXERCICE 1 5points
¡ p ¢2 21. Δ? 6 3 ?4?36??1?36?(6i) .L’équationadoncdeuxracinescomplexes:
p
p p?6 3?6i
z ? ??3 3?3i et z ??3 3?3i.1 2
2
2 22. a. jz j ?27?9?36?6 )jz j?6.A AÃ !p
¡ ¢3 1 2π 2πOn peut donc écrire z ? 6 ? ? i ? 6 cos ?isin . Un argu-A 3 32 2
2π
mentdez estdoncA
3
2 2jz j ?27?9?36?6 )jz j?6.B BÃ !p
¡ ¢3 1 ?2π ?2πAlors z ?6 ? ? i ?6 cos ?isin . Un argument de z estB B3 32 2
2π
donc?
3
π? 3b. D’aprèslaquestionprécédentez ?6e .A
c. Voirlafigureplusbas.
3. a. AB?jz ?z j?6.B A ¯ p ¯ p
¯ ¯AC?jz ?z j? ?3 3?3i ? 27?9?6.C A
Comme A et B sont symétriques autour de (Ou), CA = CB et finalement
CA=CB=BA=6:letriangleABCestéquilatéral.
b. On a vu que OA = OB = 6, donc OA = AC = CB = BO = 6 : le quadrilatère
OACBayantsesquatrecôtésdemêmelongueur,c’estunlosange.
4. a. Voirlafigure
π
b. Kestl’imagedeAparlarotationdecentreOetd’angle .
2
0 0c. L’imagedeM d’affixez parlarotationprécédenteestM d’affixez telle
π0 i 2quez ?ze .
¡ ¢
π 2π π 2π π 5πi i i i ? i
2 3 2 3 2 6Doncz ?z e ?6e ?e ?6e ?6e .K A Ã !p
¡ ¢ p?1 ? 35π 5πÉcriturealgébrique:z ?6 cos ?isin ?6 ?i ??3?3 3i.K 6 6 2 2A.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique
6
A
!?
v
C
!?O
?6 u
B
K
?6
EXERCICE 2 4points
1. Onsaitquelessolutionssontdelaforme:
y?Acos5x?Bsin5x.
2. Onadonc
? f(x)?Acos5x?Bsin5x;
5π 5π? ?2?Acos ?Bsin ;
6 6
? ?5?5Bcos5?0.
LaroisièmeéquationdonneB??1etenremplaçantdansladeuxième:
à ! à !p p
p3 1 3 3
?2?A? ? ? () ? ?A? ? () 3?A.
2 2 2 2
à !p
p 3 1
Donc f(x)? 3cos5x?sin5x.=2 cos5x? sin5x ?
2 2
³ ´¡ ¢ ππ π2 cos cos5x?sin sin5x ?2cos 5x?6 6 6Ã !p
p 3 1
3. f(x)? 3cos5x?sin5x?2 cos5x? sin5x ?
2 2
³ ´¡ ¢ ππ π2 cos cos5x?sin sin5x ?2cos 5x?
6 6 6
· ¸πZπ ³ ´ ³ ´
6 61 6 1 π 12 π
4. V ? f(x)dx? ?2sin 5x? ? sin(?π)?sin ?m π π 5 6 5π 60 06
France 2 23juin2008
bbbbA.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique
µ ¶
12 1 6
? ? ?? .
5π 2 5π
PROBLÈME 11points
PartieA:étudedelafonctionf
33x1. a. Comme lim e ??1, lim ?0
3xx!?1 x!?1e ?1
b. Ceci montre que l’axe des abscisses est asymptote horizontale àC au
voisinagedeplusl’infini.
3x 3x 3xc. Quelquesoitx2R,e ?0)e ?0)e ?1?0) ?0.
3xe ?1
OnpeutdoncdirequelacourbeC estaudessusdesonasymptotequel
quesoitleréelx.
¡ ¢3x x2. a. lim e ?0) lim e ?0,donc lim f(x)?3.
x!?1 x!?1 x!?1
b. La question précédente montre que la droiteD est asymptote horizon-
taleàC auvoisinagedemoinsl’infini.
3x 3x 3x3e 3e ?3?3e 3
c. 3? ? ? ?f(x).
3x 3x 3xe ?1 e ?1 e ?1
3x3e
d. Comme ?0, il en résulte que f(x)?3, c’est-à-direqueC est au
3xe ?1
dessousdeD,quelquesoitx2R.
3. a. f quotient de fonctions dérivables, le dénominateur ne s’annulant pas
estdérivablesurRet
3x 3x3?3e ?9e0f (x)?? ? .¡ ¢ ¡ ¢2 23x 3xe ?1 e ?1
b. Tous les termes sont positifs excepté?9, la dérivée est donc négative et
lafonctiondécroissantesurR.
x ?1 ?1
0 ?f (x)
3
f(x)
0
3 3
4. Lepointd’abscisse0apourordonnée f(0)? ? .Encepointlenombre
1?1 2
90dérivé f (0)estégalà? .
4
L’équationdelatangenteestdonc:
3 9 9 3
M(x ; y)2Δ () y? ?? (x?0) () y?? x? .
2 4 4 2
5. Voirlafigure.
PartieB:Calculdel’aired’unepartieduplan
0u (x)3x 0 3x1. a. Enposantu(x)?e ?1,u (x)?3e ,doncg(x)? etuneprimitive
u(x)¡ ¢
3x 3xdeg estdoncG tellequeG(x)?lnju(x)j?ln e ?1 ,care ?1>1?0.
¡ ¢
3xG(x)?ln e ?1
France 3 23juin2008A.P.M.E.P. CorrigédubaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique
b. Aveclamêmenotation,lerésultatdelaquestion2.c.s’écrit
0u (x)
f(x)?3? et par conséquent une primitive de f est la fonctionF
u(x)
telleque:
¡ ¢
3xF(x)?3x?ln e ?1
2. a. Onsaitqu’enunitésd’airel’airedelasurfaceestégaleà:
Za
A(a)? f(x)dx.
0
£ ¡ ¢¤ ¡ ¢ £ ¡ ¢aa 3x 3a 3?0b. A(a)?[F(x)] ? 3x?ln e ?1 ?3a?ln e ?1 ? 3?0?ln e ?1 =0 0¡ ¢
3a3a-ln e ?1 ?ln2.
3a¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ 2e3a 3a 3a3. Comme3a?ln e ,onaA(a)?ln e ?ln e ?1 ?ln2?ln .
3ae ?1
2?3aOnpeutécrireenmultipliantchaquetermepare ,A(a)?ln .
?3a1?e
?3aComme lim e ?0, lim A(a)?ln2.
a!?1 a!?1
y
D
3
2
1
Δ
A(a)
C
O a x
?1 1
France 4 23juin2008
