Corrigé du bac S 2010: Mathématique Spécialité

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01 janvier 2010

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Equations différentielles et calcul d'intégrale, ROC sur les suites, QCM de probabilité et similitudes complexes.
Terminale S, Métropole, 2010

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ELEMENTS DE CORRECTION DE L’EPREUVE DE MATHEMATIQUES (SERIE S) Exercice 1 : Partie A 1)uest dérivable sur IR comme produit de fonctions dérivables, et pour tout réelx: -x-x u’(x) = e–xe . -x Donc pour tout réelx:u’(x) +u(x.) = euest donc bien solution de (E). -x 2)Les solutions de (E’) sont de la forme :y(x) = C e, où C est un réel fixé. -x 3)vest solution de (E) si et seulement si pour tout réelxv’(x) +v(x, ce qui équivaut à :) = e pour tout réelxv’(x) +v(x) =u’(x) +u(xqui équivaut à :), ce pour tout réelx (v–u)’(x) + (v–u)(x) = 0, ce qui équivaut à : v– u est solution de (E’). 4)De ce qui précède, on déduit que les solutions de (E) sont les fonctions de la forme : -x-x v(x+) = Cexoù C est un réel fixé.e , -x-x 5)gest solution de (E) donc il existe un réel C tel que pour toutx:g(x+) = Cexe . Commeg(0) = 2, on en déduit que C = 2. Partie B 1)Pour tout réelkla fonctionfkest dérivable sur IR comme produit de fonctions dérivables, et -x pour tout réelx:fk’(x)=(1 – (x+k)) e. -x Pour tout réelx> 0, donpositif sur ]-; 1 –: ek], cfk’(x) est du signe de (1 –x–k) à savoir∞ négatif sinon. Du lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction, on déduit que la fonctionfkadmet un maximum pourx= 1 –k. k– 1-(1 –k) 2)Mkest le point dekd’abscisse 1 –kdonc son ordonnée estfk(1 –k. Il est= e) = e donc bien sur. 3) a)Par composition, la fonction représentée parest décroissante, alors quefkn’est pas monotone, les courbes sont donc faciles à identifier. b)passe par le point de coordonnées (0 ; 1). On en déduit que l’unité graphique en ordonnée est 2cm.Commefk(0) =k, on « lit »k=2. f2(x) = 0 si et seulement six= -2, donc la courbe2passe par le point de coordonnées (-2 ; 0). On en déduit que l’unité graphique en abscisse est également 2cm. Remarque : on retrouve, comme par hasard, la fonctiongde la partie A ! 4)En dérivant le polynôme, et intégrant l’exponentielle, on trouve : 2 22 x%x2%x%2 I1% #2 e%e%d14%e 2##e%315e% (x!x 0∫0 0   La fonctionfkétant positive sur [0 ; 2], on a ainsi calculé l’aire (en unités d’aire) délimitée par l’axe des abscisses, la courbek= 2.et les droites d’équations x = 0et x

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