Corrigé du bac S 2008: Mathématique Spécialité
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Lois de probabilités, étude de fonction et d'intégrale, étude de suites récursives, transformations complexes.
Terminale S, Réunion, 2008
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Terminale S, Réunion, 2008
[Correction du baccalauréat S Asie 18 juin 2008\
EX E R C IC Epoints1 5 1. a.On a la loi binomialeX,→Bde paramètres0, 1),(8 ;n=8 etp=0, 1.. ¡ ¢ 8 08−2 b.p(A)=p(X=0)= ×0, 1×0, 9≈0, 430≈près.0, 43,à 10 0 −2 p(B)=p(X>1)=1−p(X=0)=1−p(A)≈près.à 100, 57, ¡ ¢ 8 6−2 p(C)=p(X=2)= ×0, 1×0, 9≈0, 148≈près.0, 15,à 10 2 2. a.On a l’arbre de probabilités suivant : 0, 2 E 0, 1 D E 0, 8 1 0, 9D E
b.En utilisant les branches conduisant àEet en utilisant la formule des probabi lités totales : p(E)=p(D)×pD(E)+p(D)×p(E)=0, 1×0, 2+0, 8×1=0, 92. D p(E∩D) 0,02 1 −3 c.pE(D)= == ≈0, 0217≈près.à 100, 022, p(E) 0,92 46 3.On a à nouveau une épreuve binomiale de paramètren=8 etp=1−0, 022=0, 978. La probabilité qu’il n’y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos est : ¡ ¢ 8 8 1−2 (0, 978)×0, 022=≈près.à 100, 84 0 Conclusion : ce contrôle permet de presque doubler les chances d’avoir un lot de huit stylos sans défaut.
EX E R C IC E2 Partie A
5 points
1.Le tableau de variations permet d’énoncer que la fonctionfest définie sur ]0 ;+∞[, i ih h 1 1 2 2 croissante sur0 ;e ,décroissante sure ;+∞avec un extremum (maximum) 11 2 en eégal à. 2e Les démonstrations : – Variations. La fonctionfest dérivable sur ]0 ;+∞[ comme fonction de fonctions déri vables le dénominateur ne s’annulant pas. Sur cet intervalle on a : 1 2 ×x−2xln(x) x−2xln(x) 1−2 ln(x) ′x f(x)== =. 4 43 x xx 3 Commex>0, le signe de cette dérivée est celui de 1−2 ln(x). On a 1 1 2 1−2 ln(x)>0= ⇐⇒ln(x)< ⇐⇒x<e .De même : 2 1 1 2 1−2 ln(x)<0= ⇐⇒ln(x)> ⇐⇒x>e . 2 i ih h 1 1 2 2 Donc la fonctionfe ;décroissante sure et0 ;est croissante sur+∞. 1 ³ ´ 1 11 2 2 2 fa donc un maximum en eetfe= =. ³ ´ 12 2e e 2
