Corrigé du bac S 2007: Mathématique Obligatoire

[BaccalauréatSFrance15juin2007(correction)\
EXERCICE 1 3points
 
1→−  1. (P)apouréquationcartésienne:x+2y−z+1=0.Unvecteurnormalà(P)est: n 2 .
−1 −1→−′ (P’)apouréquationcartésienne:−x+y+z=0.Unvecteurnormalà(P)est:n 1 .
1
→− →−→− →−′ ′Alors: n.n =(1×(−1))+(2×1)+(−1×1)=−1+2−1=0donclesvecteurs n etn sontorthogonaux.Lesplans(P)
et(P’)sontperpendiculaires.
2. Lesdeuxplansétantperpendiculaires,ilssecoupentselonunedroite(d).Lescoordonnées(x ; y ; z)despointsde
(d)vérifientlesdeuxéquationsdesplansetsontsolutions dusystèmeforméparcesdeuxéquations? ? ?
x+2y−z+1 = 0 x+2y=z−1 = 0 −x+y = −z⇔ ⇔−x+y+z = 0 −x+y = −z 3y = −1
1 x = − +t 3
1⇔ , t∈Rquiestlareprésentationparamétriquede(d)donnéedansletexte.
y = − 3
z = t
3. Pourunpland’équation(P)cartésienneax+by+cz+d=0etunpointA(x ; y ; z ),ladistanceentreAet(P)est:A A A
|ax +by +cz +d|A A A
d(A;(P))= p .
2 2 2a +b +c
2 2
Onendéduit:d(A;(P))=p etd(A;(P’))=p .
6 3
NotonsHetH’lesprojetésorthogonauxdeAsur(P)etsur(P’).Commelesdeuxplans(P)et(P’)sontorthogonaux,
leprojeté orthogonaldeHsur(P’)estcofondu avecleprojeté orthogonaldeH’sur(P).LequadrilatèreAHDH’est
doncunrectangle.SoitδladistanceentreAet(d).δestlalongueurdeladiagonaledecerectangle.Onapplique le? ? ? ?2 2 p2 2 2 4
2théorèmedePythagore:δ = p + p = + =2.D’oùδ= 2.
3 36 3
EXERCICE 2 3points
1. Restitutionorganiséedeconnaissances
Soient u et v deux fonctions dérivables sur [a ; b] et dont les dérivées sont continues. Alors uv est dérivable et
′ ′ ′(uv) =u v+uv . R Rb b′ ′ ′ ′ ′ ′Parconséquent,u v=(uv)−uv etcesontdesfonctionscontinuesd’où u (x)v(x)dx= [(uv) (x)−u(x)v (x)]dx=a aR R Rb b b′ ′ b ′(uv) (x) dx− u(x)v (x) dx (linéaritédel’intégrale) = [u(x)v(x)] − u(x)v (x) dx = u(b)v(b)−u(a)v(a)−a a a aRb ′u(x)v (x) dx.a R R
π πx x2. OnposeI= e sinx dx etJ= e cosx dx.0 0
′ x x ′a. Premièreméthode:onposeu (x)=e d’oùu(x)=e etv(x)=sinx d’oùv (x)=cosx.
u etv sontdérivablesetleursdérivéessontcontinues.Oneffectueuneintégrationparparties:R
ππx xI=[e sinx] − e cosx dx=−JdoncI=−J.0 0
Deuxièmeméthode:
x ′ x ′onposeu(x)=e doncu (x)=e etw (x)=sinx d’oùw(x)=−cosx.
′ ′u etw sontcontinues.Onintègreparparties:R
πx π x π πI=[−e cosx] − −e cosx dx=1+e +JdoncI=1+e +J.0 0
Onobtientlesystème:BaccalauréatS
?
I=−J
.
πI=1+e +J
1 1
π πOnobtient:I= (1+e )etJ=− (1+e )
2 2
France 2 15juin2007BaccalauréatS
EXERCICE 3 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialitéPartieA
3 2Soit(E)l’équation z −(4+i)z +(13+4i)z−13i=0.
3 21. Ona:i −(4+i)i +(13+4i)i−13i=−i+4+i−4+13i−13i=0donciestsolutionde(E).
2 3 22. (z−i)(az +bz+c)=az +(b−ai)z +(c−bi)z−ic.
Deuxpolynômessontégauxsietseulement silescoefficientssontégaux.Onobtientlesystème:  a = 1 a = 1  a = 1  
b−ai = −4−i c = 13⇔ ⇔ b = −4  c−bi = 13+4i b−i = −4−i  c = 13−ic = −13i 13−bi = 13+4i
3 2 2doncz −(4+i)z +(13+4i)z−13i=(z−i)(z −4z+13).
23. L’équation(E)s’écrit(z−i)(z −4z+13)=0.
DansC,unproduitdefacteursestnulsietseulement sil’undesfacteursestnul.
• z−i=0⇔z=i
2• z −4z+13=0.
4−6i2
Δ=−36=(6i) <0.Ilyadeuxracinescomplexesconjuguées =2−3iet2+3i.
2
L’ensemble dessolutionsest:S ={i; 2−3i; 2+3i}
PartieB
π
1. Soitr larotationdecentreBetd’angle .
4
π π′ i ′ i
4 4Uneécriturecomplexeder estz −z =e (z−z )⇔z =e (z−2−3i)+2+3i.B B? !p p p ? p ?π 2 2i
4Onendéduitz =e (−2−2i)+2+3i=−2 +i (1+i)+2+3i=−2i 2+2+3i=2+ 3−2 2 i.A’
2 2
2. LesaffixesdeA’,BetContlamêmepartieréelle2donclestroispointssontalignéssurladroited’équationréduite
x=2. p p
BA’ 3−(3−2 2) 2 2
A’estdoncl’imagedeCparunehomothétiedecentreBetderapportk.k>0donck= = = =
BC 3−(−3) 6p
2
.
3
Uneécriturecomplexedecettehomothétie estalors:p
2′ ′z =k(z−z )+z c’est-à-direz = (z−2−3i)+2+3i.B B
3
EXERCICE 3 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
1. SoitσlasimilitudedirectedecentreAquitransformeCenH. p
AH |z −z | |6i| 6 3 3 2H A
Lerapportdecettesimilitudeestk= = = = = = .p p
AC |z −z | 8−8i| 8C A 8 2 4 2? ? ? ? ? ? ? ?? ? z −z −6i 6 i 3−→ −→ H A
Un angle de cette similitude est : AC; AH =arg =arg =arg − × =arg − ×(−1+i) =
z −z 8−8i 8 1−i 8C A? ?
3 π
arg (1−i) =− +2kπ,k∈Z.
8 4 p
3 2 π
σestlasimilutudedirectedecentreA,derapport etd’angle− .
8 4
′2. a. s apourécriturecomplexe z =az+b.
AetCsontinvariantsdonconalesystème:?
z = az +bA A
.
z = az +bC C
France 3 15juin2007BaccalauréatS
? ? z −z −8+8i −1+iA C
En soustrayant membre à membre, il vient : z −z = a z −z donc a = = = =A C A C
z −z −8−8i −1−iA C
−i(−1−i)=−i.−1−i
b=z −az =−5+6i+i(−5−6i)=−5+6i−5i+6=1+iA A
′s apourécriturecomplexe:z =−iz+1+i.
s n’est pas l’identité et est une similitude indirecte ayant deux points invariants : c’est une symétrie axiale,
d’axe(AC).
b. EestlesymétriquedeHparrapportàladroite(AC),doncEestl‘imagedeHpars.
z =−iz +1+i=−i(−5)+1+i=1+6i. z .E H E=1+6i p
c. LerayonducerclecirconscritautriangleABCestFA=|z −z |=|−5+6i+2−i|=|−3+5i|= 34.A Fp
FE=|z −z |=|1+6i+2−i|=|3+5i|= 34.E F
FE=FAdoncEappartientaucerclecirconscritautriangleABC.
(Remarque: H est en fait l’orthocentre du triangle ABC et on a vérifié une propriétégénérale dans un triangle
disantquelesymétriquedel’orthocentred’untriangleparrapportàuncôtédecetriangleappartientaucercle
circonscrit )
z +z −5+6i+3−2i −2+4iA C
3. Iestlemilieude[AC].L’affixedeIestz = = = =−1+2i. z =−1+2i.I I
2 2 2
2
G est l’image de I par l’homothétie de centre B et de rapport . (par conséquent, G est le centre de gravité du tri-
3
angle,puisque l’onsaitquecelui-ciestauxdeuxtiersdechaquemédianeenpartantdusommet).
2 2′Cettehomothétie apourécriturecomplexe z −z = (z−z )doncz= (z+7+2i)−7−2i.B B
3 3
2 2 8 2 2
Avecz=z ,onobtientz = (−1+2i+7+2i)−7−2i= (6+4i)−7−2i=4+ i−7−2i=−3+ i.z =−3+ i.I G G
3 3 3 3 3
2 2−→
LevecteurHG apouraffixez −z =−3+ i+5=2+ i.G H
3 3 ? ?−→ 3 2 3
−→LevecteurHF apouraffixez −z =−2+i+5=3+i= 2+ i = z .F H HG2 3 2−→ −→
LesvecteursHGetHFsontdonccolinéaires:lespointsH,GetFsontdonccolinéaires.
(remarque:onaremontrédansuncasparticulierquedansuntrianglenonéquilatéral,lecentreducerclecircons-
crit,lecentredegravitéetl’othocentred’untrianglesontalignéssurunedroiteappeléedroited’Euler.)
? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
E
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
I
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?→−F xvG? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?→−OH u? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
B C
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
France 4 15juin2007
bbbbbbbbBaccalauréatS
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
Cetexerciceestunquestionnaireàchoixmultiples.
1. Supposonsqu’ilvoie5clientsetchaquerencontreestconsidéréecommeuneexpérienceidentique,indépendante,
pourlaquellelaprobabilitédevendreleproduitestp=0,2.
SiX estlavariablealéatoiredonnantlenombredeproduitsvendus, X suitlaloibinomialeB(5; p).? ?5 2 3 2 3Alorsp(X=2)= p (1−p) =10×0,2 ×0,8 =0,2048.(réponsed)).2
2. NotonsG l’événement «l’élèvechoisiestungarçon»etP l’événement «l’élèvechoisiaobtenusonpermis».
Représentonslasituationparunarbre.
1
P10
G
1
4
9 P
10
P=(P∩G)∪(P∩G)(réuniond’événements incompatibles).
3
4
1
P3
G
2 P3 1 1 1 3 1 1 11
Alors: p(P)=p(P∩G)+p(P∩G)=p (P)×p(G)+p (P)×p(G)= × + × = + = =0,275. RéponseG G 10 4 3 4 40 4 40
b).
1
p(G∩P) 140
3. Ils’agit decalculer laprobabilité conditionnelle p (G). p (G)= = = ≈0,091 à 0,001 près. C’est laP P 11p(P) 11
40
réponseb).
4. Ilfautcalculerlequotiententrel’airedelazoneextérieureetl’airetotale.
2 2π×30 −π×20 900π−100π 500π 500 5
p= = = = = .C’estlaréponsea).
2π×30 900π 900π 900 9
Ilfallaitrépondre:d),b),b),a)
EXERCICE 5 5points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle ]−1;+∞[par:
ln(1+x)
f(x)=x− .
1+x
PartieA
1. f estdérivablecommecomposée,quotientetsommedefonctionsdérivablessur]−1;+∞[.
lnv ′ ′f =u− enposantu(x)=x etv(x)=1+x.u (x)=1etv (x)=1.
v ′v ′? ?′ ×v−v lnv ′lnv 1−v lnvv′ ′ ′ ′f =u − =u − =u − .
2 2v v v
21−ln(1+x) (1+x) −1+ln(1+x)′Parconséquent,pourtoutx de]−1;+∞[, f (x)=1− = .
2 2(1+x) (1+x)
France 5 15juin2007
bbbbbbbBaccalauréatS
22. OnposeN(x)=(1+x) −1+ln(1+x).N estdérivablecommesommeetcomposéedefonctionsdérivables.