Corrigé du bac S 2007: Mathématique Obligatoire

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01 janvier 2007

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Etude d'intégrale, géométrie complexe, géométrie dans l'espace, loi de probabilté
Terminale S, Antilles, 2007

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Baccalauréat S AntillesGuyane juin 2007 Corrigé

EX E R C IC Epoints1 6 Commun à tous les candidats Question de cours Z b La fonctionx7→f(x)−g(x) est continue surI(carfetgle sont), doncf(x)−g(x)dx a existe. Comme de plus on af(x)−g(x)>0, la propriété de positivité permet d’écrire que : Z ZZ b bb f(x)−g(x)dx>0. On a alors, par linéarité de l’intégralef(x)dx−g(x)dx>0, a aa d’où le résultat. Partie A 1.Soitxun réel supérieur ou égal à 1. La fonctiont7→2−test continue sur [1 ;x], et on a : Z ·¸ µ¶ µ¶ x x 1 11 13 2 22 (2−t) dt=2t−t=2x−x−2−− =x+2x−. 2 22 22 1 1 2.Commet∈[1 ;+∞[,t>0, donc : 1 2 22 2−t6⇔2t−t61⇔06t−2t+1⇔6(2t−1) . t La dernière inégalité étant vraie, le raisonnement par équivalences permet de conclure 1 qu’on a bien 2−t6. t 1 1 3.Les fonctionst7→2−tett7→sont continues sur [1;+∞[ et 2−t6, la question t t de cours permet alors d’écrire que : Z Z x x 1 (2−t)dt6dt 1 1t 1 31 3 2x2 c’estàdire :−x+2x−6[lntd’où :] ,−x+2x−6lnx. 1 2 22 2 Partie B

1. a.hest continue surR(polynôme) et : Z ·¸ µ¶ µ¶ 4 4 1 31 13 44 3 2 h(x)dx= −x+x−x= −×64+16−6− −+1− =− +=0. 6 26 1 16 26 6 b.Sur le graphique, les deux aires coloriées sont égales. 2.4] on aSur [1;h(x)6lnx(question A3), l’aireAdu domaine (D) est donc donnée Z Z 4 4 par :A=(lnx−h(x))dx=lnxdx(par linéarité et comptetenu du fait que 1 1 Z 4 1 ′ ′ h(x)dx=0). Posonsu(x)=1,v(x)=lnxetu(x)=t,v(x)=. Les fonctionsu,v 1x ′ ′ sont dérivables sur [1; 4], les fonctionsu,v; 4], le théorèmesont continues sur [1 d’intégration par parties s’applique donc et on a : Z 4 4 A=[xlnx]−1dx=4 ln 4−1×(3−1)=8 ln 2−3 u.a. 1 1

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