Corrigé du bac S 2006: Mathématique Spécialité

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01 janvier 2006

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logarithme, QCM sur l'exponentielle, probabilités, nombres complexes, suites
Terminale S, Polynésie, 2006

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Durée : 4 heures

[Corrigé du baccalauréat S Polynésie\ juin 2006

EX E R C IC E1

5 points

z−1 2 2 1.Siz6= −1,z= ⇐⇒z+z=z−1⇐⇒z= −1⇐⇒z=i ouz= −i. z+1 Les points invariants parfsont les deux points d’afﬁxes i et−i µ ¶ z−1 ′ 2. a.z6= −1, (z−1)(z+1)= −1 (z+1)=z−1−z−1= −2. z+1 b.L’égalité de ces deux complexes entraîne l’égalité de leurs modules soit ¡ ′ ′′ ¯ z−1)(z+1)= | −2| ⇐⇒ |z−1| × |z+1| =2⇐⇒AM×BM=2. ′ Même chose pour les arguments : arg[(z−1)(z+1)]=arg(−2)⇐⇒ ³ ´³ ´ −→−−−−→→→− ′ ′ arg(z−1)+arg(z+1)=π[2π]⇐⇒u, AM+u, BM=π[2π]. 3.Mappartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2 si et seulement si BM = 2⇐⇒ |z−(−1)| =2⇐⇒ |z+1| =2. En reportant dans la première ′ ′ relation trouvée à la question précédente, il suit que 2AM=2⇐⇒AM=1 ′ ′ qui signiﬁe queMappartient au cercle (C ) de centre A et de rayon 1. 2 2 4. a.p+1= −2+1+i 3.D’où|p+1| =1+3=4=2=⇒ |p+1| =2. Donc Ã ! 1 3¡ ¢2iπ 2π2π 3 p+1=2− +i=2 cos+i sin=2e 3 3 2 2 b.On vient de trouver que|p+1| =2⇐⇒BP=2 qui signiﬁe que P appar tient au cercle (C). c.Soit P1le point d’afﬁxep+1. Les points P1et O sont les images respec −→ tives des points P et B dans la translation de vecteuru. (OBPP1) est donc −→−→− un parallélogrammme. Donc les vecteurs OP1ont la même afﬁxe,et BP µ ¶ 2π d’où le même argumentd’après la a. et le même module 2. 3 D’autre part la construction classique (opposé du conjugué) montre que ³ ´ −→ P et Q sont symétriques autour de l’axeO,vet B et A le sont aussi. ³ ´ −→ Donc [BP] et[AQ] sont symétriques dans la symétrie autour deO,v. ³ ´ −→−→π Donc par supplémentaritéu, AQ= 3 ³ ´³ ´ −→−→−→−−→ ′ ′ Or d’après 2. b.u, BP+u, AP=πappar. Conclusion : le point P ′ tient à la droite (AQ), ou encore les points A, Pet Q sont alignés. ′ d.On en déduit la construction simple de P:

– ConstruireQ symétrique de P autour de l’axe des ordonnées ; ′ – Lesegment [AQ] coupe le cercle(C) en P .

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