Corrigé du bac S 2006: Mathématique Spécialité
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géométrie 3D, étude de fonction, arithmétique, probabilités
Terminale S, Métropole, 2006
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Terminale S, Métropole, 2006
Correction du sujet national, juin 2006
Exercice 1 On ne demandait pas de justification ; celles-ci sont données à but pédagogique 1. L’équation2x+2y−z−11=0 est l’équation d’un planP. •2xA+2yA−zA−11=2×2+2×4−1−11=0 donc A appartient àP. •2xB+2yB−zB−11=2×0+2×4−(−3)−11=0 donc B appartient àP. •2xC+2yC−zC−11=2×3+2×1−(−3)−11=0 donc C appartient àP. −2 1 −→−→ AB0 ;AC−3 . −4−4 −→−→ Les vecteursABetACne sont pas colinéaires. Les trois points A, B et C ne sont pas alignés et appartiennent au plan P, donc ce plan est le plan (ABC). L’affirmation est doncvraie. 2. 2xE+2yE−zE−11=2×3+2×2−(−1)−11=0 donc E appartient à (ABC). 2 −→−→−→−→−→→− Le vecteurDEa pour coordonnées :DE2 .Alors :DE.AB= −4+0−4=0 donc les vecteursDEetABne sont pas 1 orthogonaux. Le point E n’est donc pas le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC). L’affirmation estfausse. −2 −−→→−→−→−→ 3.C D−1 doncAB.C D=4+0−4=0. Les deux vecteursABetC Dsont orthogonaux donc les droites (AB) et (CD) aussi. 1 L’affirmation estvraie. 4. Lepoint C n’appartient pas à la droite dont on donne la représentation paramétrique. En effet, si c’était le cas, il exis- −1+2t=3t=2 terait un réel t tel que :−1+t=1⇔t=2 ,ce qui est impossible. Par conséquent, l’affirmation est 1−t= −3t=4 fausse. 7 − 5 −→−→10−→ 5.AI0doncAB=AI. Les deux vecteurs sont colinéaires, donc I appartient bien à la droite (AB). L’affirmation 7 14 − 5 estvraie. Il fallait donc répondre :VFVFV
Exercice 2 2 1−x 1. Soitf la fonction définie surRpar :f(x)=xe . 1−x2 (a) lim(1−x)= +∞donc lim e= +∞par le théorème de composition des limites. Comme on a aussilimx= x→−∞x→−∞x→−∞ +∞, on en déduit que :limf(x)= +∞. x→−∞ 2 x 2−x Pour toutx, on a :f(x)=exe=e . x e x2 ex D’après le théorème de croissance comparée,lim= +∞donc lim=0. On en déduit quelimf(x)=0 . 2x x→+∞x→+∞x→+∞ xe L’axe (O x) est donc asymptote à la courbeCen+∞. (b) fest dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables ; 1−x2 1−x2 1−x1−x pour tout x deR,f(x)=2xe−xe=(2x−x)e=x(2−x)e . 1−x (c) Pourtout x, e>0 doncf(x) est du signe dex(2−x2[,) qui est strictement positif entre ses racines donc sur ]0 ; nul en 0 et 2 et négatif ailleurs. On en déduit le tableau de variations : x−∞0 2+∞ f(x)−0+2− 4 +∞ e f(x) 0 0 Courbe :
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