Corrigé du bac ES 2009: Mathématique Spécialité

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01 janvier 2009

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Nuage de points et ajustement affine, graphe connexe,complet et pondéré, arbre de probabilités, étude d'intégrales.
Terminale ES, Métropole, 2009

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CorrectiondusujetbacESFrancejuin2009
Exercice1
Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Rangdel’année:x 0 1 2 3 4 5 6 7i
Indice: y 100 108,5 120,7 134,9 154,8 176,4 193,5 213,6i
1. 213,6−100=113,6.
Lepourcentaged’augmentationdecesindicesentrel’année200etl’année2007estde113,6% .
2. Nuagedepoints:
210
200
190
180
170
160
150 G
140
130
120
110
100
0 1 2 3 4 5 6 7
3. Lesmoyennesdesdeuxsériessontrespectivement:
x=3,5et y=150,3.
Lescoordonnéesdupointmoyensont: G(3,5; 150,3) .
4. (a) Àl’aidedelacalculatrice,ontrouvequel’équationdéduitede(d)est: y=16,75x+91,67 .
(b) voirgraphique
5. 2009correspondraitàunrangégalà9.
L’indicedeprixvaudraitalors:16,75×9+91,67=242,42.
L’indicedesprixen2009seraenvironégalà242,4
Exercice2
(Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité)
1. (a) Ona: f(0)=4
y −y 6−4,5 1,5F C′ ′f (1)estlecoefﬁcientdirecteurdelatangenteàΓenC,(CF): f (1)= = = = 0,75
x −x 3−1 2F C
′
f (2)=0 .(tangenteàΓparallèleà(Ox)enBetenD)
′(b) f (x)estnégatifsurl’intervalle[−2; 0],positifsur[0; 2]etnégatifsur[2; 5].
(c) Surl’intervalle[−2; 2], f aunminimumen0quivaut4,donc f(x)estpositifsur[−2; 2].
Sur[2; 5], f estdécroissanteavec f(4)=0:onendéduitque f(x)estpositifsur[2; 4],nulpour x=4etnégatifsur[4; 5].
Résumé:
x −2 4 5
Signede f(x) + 0 −
2. Onconsidèrelafonctiong déﬁnieparg(x)=ln(f(x)).
(a) g(x)estdéﬁniesi,etseulementsi, f(x)>0,c’est-à-direpour x∈[−2; 4] .
Page1/??
bbbbbbbsrb(b) g(−2)=ln(f(−2))=ln9=2ln3;g(0)=ln(f(0))=ln4=2ln2etg(2)=ln(f(2))=ln5.
(c) Sur [−2; 0], f estdécroissantepositive etlnestcroissantesur [0;+∞[;onendéduitque g estdécroissante(lacomposée
d’unefonctiondécroissanteavecunefonctioncroissanteestdécroissante).
Sur[0; 2[, f estcroissanteetlnaussi,doncleurcomposée g estaussicroissante.
Sur[2; 4[, f estdécroissanteetlnestcroissante,doncleurcomposée g estaussidécroissante.
(d) limg(x)=limln(f(x))= limln(X)=−∞(d’aprèslalimitedesfonctionscomposées).
x→4 x→4 X→0
Onendéduitqueladroited’équation x=4estasymptoteàlacourbereprésentativedeg.
(e) Tableaudevariationdeg :
x −2 0 2 4
2ln3 ln5
g(x) ց ր ց
2ln2 −∞
Exercice2
(Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité)Partie1:
1. (a) Cegrapheestconnexe(deuxsommetsquelconquessontreliésparunchemin).
(b) Cegraphen’estpascomplet(AetEnesontpasadjacents).
(c) Regardonslesdegrésdechaquesommet:
Sommet A B C D E F G
Degré 2 4 5 5 4 4 2
Le graphe est connexe et deux sommets seulement ont un degré impair (C et D), donc le graphe admetunechaîneeulé-
rienne(entreCetD).
(d) Commetouslessommetsnesontpasdegrépair,legraphen’admetpasdecycleeulérien.
2. CDEFestunsous-graphecompletd’ordre4,donclenombrechromatiquedecegrapheestsupérieurouégalà4.
Utilisonsl’algorithmedeWelsh-Powell:
Sommet C D B E F A G
Couleur Rouge Vert Bleu Jaune Bleu Vert Rouge
Onvoitquequatrecouleurssufﬁsent;lenombrechromatiquedugrapheest4.
PartieII
OnchercheuntrajetminimumreliantAàGenutilisantl’algorithmedeDijkstra.
A B C D E F G choix coefﬁcient
0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ A 0
0+2=2(A) 0+1=1(A) ∞ ∞ ∞ ∞ C 1
1+2=3> 1+4=5(C) 1+3=4(C) 1+5=6(C) ∞ B 2
2→2(A)
2+1=3(B) 2+3=5> 6(C) ∞ D 3
4→4(C)
3+3=6> 3+6=9> 3+5=8(D) E 4
4→4(C) 6→6(C)
4+1=5(E) 8(D) F 5
5+2=7(F) G 7
Letrajetàl’enversestG-F-E-C-A.
LetrajetcomportantunminimumdefeuxtricoloresestA-C-E-F-Gavecseptfeuxtricolores.
Page2/??Exercice3
1. (a) Arbrecomplété:
0,7 G
D
0,5
G0,3
0,2 G
D
0,5
G0,8
(b) p(D∩G)=p (G)×p(D)=0,7×0,5= 0,35 .D
(c) p(D∩G)=p (G)×p(D)=0,2×0,5= 0,1 .
D
(d) G=(G∩D)∪(G∩D)(réuniond’événementsincompatibles).
Onendéduitque:p(G)=p(D∩G)+p(D∩G)=0,35+0,1= 0,45 .
(e) Onveutcalculer p (D):G
p(D∩G) 0,35 35 7
p (D)= = = =G
p(G) 0,45 45 9
2. Laprobabilitécherchéeest: £ ¤
2p((G∩G∩G)∪(G∩G∩G)∪(G∩G∩G))=3 p(G) ×(1−p(G))=3×0,45 ×0,55 ≈0,334 .
Exercice4
PartieA
−0,5xOnconsidèrelafonction f déﬁniesurl’intervalle[0,5;8]par: f(x)=20(x−1)e .
v1. (a) f =20ue avecu(x)=x−1etv(x)=−0,5x.
f estdérivablecommeproduitetcomposéedefonctionsdérivables.¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢′ ′′ v v ′ v ′ v ′ ′ v ′ ′f = 20ue =20× ue =20× u ×e +u×v e =20(u +uv )e avecu (x)=1etv (x)=−0,5.
′ −0,5x −0,5x −0,5x −0,5xOnendéduitque: f (x)=20(1−0,5(x−1))e =20(1,5−0,5x)e =10×2(1,5−0,5x)e =10(3−x)e .
′ −0,5xf (x)=10(−x+3)e .
−0,5x(b) 10>0;pourtoutx,e >0.
′f (x)=0⇔−x+3=0⇔x=3.
′f (x)estdusignede−x+3,doncpositifpourx?3etnégatifpourx?3.
f estcroissantesur[0,5; 3]puisdécroissantesur[3; 8] .
Onendéduitletableaudevariationsde f :
x 0,5 3 8
′f (x) + 0 −
f(3)
f(x) ր ց
f(0,5) f(8)
−0,25 −1,5 −4f(0,5)=−10e ≈−7,8; f(3)=40e ≈8,9et f(8)=140e ≈2,6.
(c) Courbe(échellenonrespectée):
Page3/??
bbbbbbb8
6
4
2
0
2 4 6
−2
−4
−6
−8
−10
−12
−40(x+1) −0,5x(d) SoitF(x)= =−40(x+1)e .
0,5e x
vF estdérivableetF=−40we avec w(x)=x+1etv(x)=−0,5x.
′ ′ ′ v ′ ′F =−40(w +wv )e avec w (x)=1etv (x)=−0,5x.
′ −0,5x −0,5 −0,5xlors:F (x)=−40(1−0,5(x+1))e =−40(0,5−0,5x)e =20(x−1)e = f(x).
′Pourtout x de[0,5; 8],F = f donc F estuneprimitivede f .Z5
(e) I= f(x)dx=F(5)−F(1,5).
1,5
−2,5 −0,75F(5)=−240e etF(1,5)=−100e .
−2,5 −0,75I=−240e +100e
PartieB
−1,11. (a) 220bicyclettescorrespondentà2,2 centaines, doncà x=2,2. Lebénéﬁcecorrespondantest alors f(2,2)=24e ≈7,989
milliersd’euros,doncenviron 7989euros .
(b) Pour408bicyclettes(x=4,08),lebénéﬁcevaut f(4,08)milliersd’euros,soit 8010euros .
2. (a) Pournepastravailleràperte,l’entreprisedoitréaliserunbénéﬁcepositif.Ilestclairque f(1)=0etque f(x)?0pourx?1.
L’entreprisedoitdoncproduireaumoins100bicyclettes.
(b) D’aprèslapartieA,lebénéﬁceestmaximumpour x=3 ,c’est-à-direpouruneproductionde300bicyclettes.Cebénéﬁce
estalors f(3)≈8,923milliersd’euros,doncde 8925euros .
(c) Lebénéﬁceestsupérieurà8000eurossi f(x)?8.
• Larésolutionalgébriquedel’inéquationestimpossible.
• Sil’onutilise lesrésultats précédents ena.etb.,onnesaitpastropquoi prendre: f(2,2)<8donc x=2,2est troppetit;
f(4,08)>8donc4,08estluiaussitroppetit.
• Unerésolutiongraphiquepréciseestimpossible.
• Restelethéorèmedesvaleursintermédiaires:
Sur [0,5; 3], f estcontinue strictement croissante; f(1)=0et f(3)>8 doncl’équation f(x)=8aune solution uniqueα
sur[1; 3];àlacalculatrice,ontrouve2,20<α<2,21.
Demême,sur[3; 8], f estcontinuestrictementdécroissante;cetteéquationaunesolutionuniqueβavec4,08<β<4,09.
Conclusion:
ilfautquel’entrepriseproduiseentre221et408bicyclettespourobtenirunbénéﬁcesupérieurà8000euros.
Page4/??

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