Corrigé Bac STMG Gestion et Finance 2014

Exercice 1

Durée : 3 heures

[Correction du Baccalauréat STMG\
Métropole 17 juin 2014

La courbeCdonnée ci-dessous représente l’évolution du nombre de visiteurs attendus durant une journée.

7

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0
8

9

C

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

(5 points)

1. (a)
Heure de la journée11 h12 h
Nombre de visiteurs attendus300 350
(b) Letaux d’évolution du nombre de visiteurs attendus entre 11 heures et 12 heures est :
350−300 50 1
= =≈16, 7 %
300 3006
2. Lenombre de visiteurs est supérieur à 300 entre 11 h et 18 h, donc le visiteur, s’il veut bénéficier d’un fond musical,
doit venirentre 11 h et 18 h.
3. LacourbeCci-dessus est la représentation graphique sur l’intervalle [9 ; 21] de la fonctionfdéfinie par
2
f(x)= −8x+232x−1 282.
(a)f(11)=302 donc le nombre de visiteurs attendus à 11 h est de302.
f(12)=350 donc le nombre de visiteurs attendus à 12 h est de350
Une lecture graphique est imprécise, ce qui explique la petite erreur sur le nombre de visiteurs à 11 h.
′
(b)f(x)= −8×2x+232= −16x+232=8(−2x+29).
29 2929
′ ′′
(c)f(x)=0 pourx=;f(x)Ê0 pourxÉetf(x)É0 pourxÊ.
2 22
On en déduit le tableau de variation def:
x9 14,5 21
f"(x)+0−
400
✒❅
f(x)
❅
❘❅
158 62

Le maximum de visiteurs est atteint à 14 h 30 et est de 400 visiteurs.

Exercice 2

A. P. M. E. P.

(6 points)

Dans une ville, on estime qu’à partir de 2013, le nombre de voitures électriques en circulation augmente de 12 % par an.
er
Au 1janvier 2013, cette ville propose 148 places de parking spécifiques avec borne de recharge. La commune prévoit
de créer chaque année 13 places supplémentaires.
La feuille de calcul ci-dessous doit rendre compte de ces données.

Les cellules sont au format « nombre à zéro décimale ».
A B C D
er er er
1 Date1 janvier1 janvier1 janvier
2013 2014 2015
2 Nombrede 100112
voitures
électriques
|l3 Nombrede 148161
places
spécifiques

Partie A

E
er
1 janvier
2016

F
er
1 janvier
2017

G
er
1 janvier
2018

H
er
1 janvier
2019

1. Lecoefficient multiplicateur associé à une hausse de 12 % est 1,12.
La formule à entrer en C2 est donc=B2*1.12.
3
2. Entre2013 et 2016, il s’écoule trois ans ; le coefficient multiplicateur global estC=1.12=1, 404928.
Le taux T correspondant estTavecC=1+TdoncT=0, 404928,doit environ40,5 %.
er
3. Soitnjanvier de l’année (2013un entier naturel. Le nombre de voitures électriques en circulation au l+n) est
modélisé par le termeVnd’une suitegéométrique.
AinsiV=100.
0

(a) Lecoefficient multiplicateur annuel est de 1,12 donc la raison de cette suite géométrique estq=1,12.
Pour toutn,Vn+1=1, 12Vn
nn
(b) Pourtoutn, on a :Vn=V0qdoncVn=100×1, 12
(c) Onen déduit :V8≈248etV9≈277

Partie B

1. Levaleurs augmentent de 13 à chaque étape, donc la formule à rentrer en C3 est« =B3+13 ».
2. (a)Pour toutn,Pn+1=Pn+13 donc la suite (Pn) estarithmétique, de premier termeP0=148 et de raisonr=13.

Le terme général est alorsPn=P0+nrdoncPn=148+13n.
(b) Oncherchentel quePÊ250.
n
On résout donc l’équation 148+13nÊ250.
102
Cela revient à 13nÊ250−148=102 doncnÊ ≈7, 8.
13
Le nombre de places dépassera 250 au bout de 8 ans, doncen 2021.

Partie C

On cherche pour quelles valeurs denle nombre de places spécifiques est inférieur au nombre de véhicules électriques.
n
On cherche donc les valeurs denpour lesquelles 100×1, 12Ê148+13n.
On fait un tableau de valeurs des deux suites. On trouveV9≈277, alors queP9≈265. Le nombre de places spécifiques
deviendra insuffisant en 2022.

Métropole

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17 juin 2014

Exercice 3

1.
b

0, 05

0, 95

T
b

T
b

0, 02

0, 98

0, 8

0, 2

b
V

b
V

b
V

b
V

A. P. M. E. P.

(4 points)

2. Laprobabilité de l’évènement : « Une tempête survient et Albert est vainqueur de la course »estp(T∩V)=pT(V)×
p(T)=0, 02×0, 05=0, 001 ;p(T∩V)=0, 001

3.V=(V∩T)∪(V∩T) (réunion d’événements incompatibles).
Par conséquent :p(V)=p(V∩T)+p(V∩T)=0, 001+0, 8×0, 95=0, 001+0, 76=0, 761.
La probabilité qu’Albert remporte la course est 0,761.
p(T∩V) 0,001
4.pV(T)= =≈0, 0013.
p(V761) 0,
−4
La probabilité qu’une tempête soit survenue sachant qu’Albert a gagné la course est 0,001 3 à 10près.

Exercice 4

Partie A

(5 points)

Après réalisation d’une enquête, on estime que le temps en minutes, consacré quotidiennement par un élève à faire ses
devoirs scolaires, est une variable aléatoireXsuivant une loi normale, d’espérance 60 et d’écart type 15.
L’allure de la courbe de densité de cette loi normale est représentée ci-dessous.
L’égalitéP(XÉ40)=est illustrée graphiquement.0,091 2

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

0

10

20

0,0912

30

40

50

60

70

80

90

100

110

1. Lacourbe est symétrique par rapport à la droite d’équationx=60, doncp(XÊ80)=p(XÉ40)=0, 0912.
C’est laréponse a).
2. Laprobabilité qu’un élève consacre quotidiennement moins d’une heure à faire ses devoirs scolaires est
p(XÉ60)=puisque la courbe est symétrique par rapport à la droite d’équation0, 5x=60 et que l’aire totale sous
la courbe vaut 1.
C’est laréponse a)

Métropole

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17 juin 2014

Partie B

A. P. M. E. P.

1. Lecoefficient multiplicateur global correspondant à l’évolution sur les deux années est
µ ¶µ ¶
20 25
C=1+ ×1− =1, 2×0, 75=0, 9.
100 100
Le taux correspondant estTavecC=1+TdoncT=C−1= −0, 1= −10 %.
Il s’agit de laréponse b).
2
2. Soittle taux moyen annuel entre 2011 et 2013. le coefficient multiplicateur correspondant est (1+t) .
p p
2
On en déduit (1+t)=donc 10, 9+t=et0, 9t=0, 9−1≈ −0, 0513≈ −5, 1 %.
C’est laréponse c).

Partie C
· ¸
1 1
Un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, estI=f−p;f+p.
n n
27
Ici,f= =0, 27 ;n=100.
100
On en déduit :I=[0, 17; 0,37].
C’est laréponse c)

Métropole

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17 juin 2014